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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Fr 14.05.2010 | | Autor: | katzi |
| Aufgabe | | Aus dem Intervall werden zufällig und unabhängig zwei reelle Zahlen x und y ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den 3 Strecken 0X, XY und Y2 ein Dreieck konstruiert werden kann? |
meiner meinung nach muss mann hier 2 fälle unterscheiden, entweder ist x<y oder x>y. durch ausprobieren habe ich herausgefunden, dass x>= 0,5 sein muss, und y muss mindestens doppelt so groß wie x sein, stimmt das? Wenn ja habe ich keine Ahnung, wie ich daraus eine Wahrscheinlichkeit berechnen kann (es gibt unendlich viele reelle zahlen zwischen 0 und 2). *ahhh*
ich danke schon mal im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Aus dem Intervall werden zufällig und unabhängig zwei
> reelle Zahlen x und y ausgewählt. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass aus den 3 Strecken 0X, XY und Y2
> ein Dreieck konstruiert werden kann?
Was bedeuten die drei Strecken? Was ist "Y2"?
Am Besten, du übersetzt das schonmal für uns und schreibst, wie lang die 3 Strecken sind.
0X ist wahrscheinlich "X" lang,
XY ist wahrscheinlich "Y-X" lang,
...
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Fr 14.05.2010 | | Autor: | katzi |
Also, die Strecken sind [mm] \overline{0x} [/mm] ; [mm] \overline{xy} [/mm] ; und [mm] \overline{y2} [/mm]
Aus diesen 3 Strecken soll ein Dreieck konstruiert werden.
Gruß
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Hallo,
du hast immer noch nicht beantwortet, was y2 eigentlich ist!
Ich kenne aus der Aufgabenstellung nur x und y.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
auf dem Zahlenstrahl die Zahlen 0 und 2
dann die Strecken:
[mm] \overline{0X} [/mm] die Strecke Null/x
[mm] \overline{XY}
[/mm]
[mm] \overline{Y2} [/mm] die Strecke Y/zwei
Steffi
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Hallo!
> Aus dem Intervall werden zufällig und unabhängig zwei
> reelle Zahlen x und y ausgewählt. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass aus den 3 Strecken 0X, XY und Y2
> ein Dreieck konstruiert werden kann?
> meiner meinung nach muss mann hier 2 fälle unterscheiden,
> entweder ist x<y oder x>y. durch ausprobieren habe ich
> herausgefunden, dass x>= 0,5 sein muss, und y muss
> mindestens doppelt so groß wie x sein, stimmt das? Wenn ja
> habe ich keine Ahnung, wie ich daraus eine
> Wahrscheinlichkeit berechnen kann (es gibt unendlich viele
> reelle zahlen zwischen 0 und 2). *ahhh*
Folgendes solltest du dir klar machen: X und Y sind auf [0,2] gleichverteilt.
(Das heißt, X und Y können jeden Wert in [0,2] mit derselben Wahrscheinlichkeit annehmen).
Es ist richtig, eine Fallunterscheidung zu machen. Dabei gilt: Wir behandeln nur den Fall X < Y (X = Y ist sinnlos); der Fall Y < X wird dann automatisch einbezogen, wenn wir die für den ersten Fall ermittelte Wahrscheinlichkeit mit 2 multiplizieren.
Also: X < Y.
Dein Dreieck besteht nun aus den drei Seiten X, Y-X und 2-Y.
Du musst nun zunächst die Dreiecksungleichung prüfen. Deine Idee mit $X [mm] \ge [/mm] 0.5$ ist nicht richtig.
>>> Falls (2-Y) die längste Seite ist, so muss nach Dreiecksungleichung gelten:
$2-Y < X + (Y-X)$, also $Y > 1$.
>>> Falls X die längste Seite ist, so muss nach Dreiecksungleichung gelten:
$X < (Y-X) + (2-Y)$, also $X < 1$.
>>> Den letzten Fall schaffst du selbst (das ist die interessanteste Ungleichung).
Du hast dann drei Ungleichungen erhalten, die erfüllt sein müssen. Die anfängliche Bedingung X < Y ist darin implizit enthalten (warum?), und du kannst nun die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen:
[mm] $P(\mbox{Bed. 1 und Bed. 2 und Bed. 3}) [/mm] = ...$
Dafür beachte, dass X und Y unabhängig sind, ABER (X-Y) ist NICHT von X und Y unabhängig! Da wirst du also wahrscheinlich noch was Integrieren müssen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 16.05.2010 | | Autor: | katzi |
hallo, vielen dank für deine antwort!
allerdings bin ich noch immer nicht ganz schlau geworden, wie ich die wahrscheinlichkeit berechnen kann.
Die 3. bedingung müsste lauten : (y-x)< x+(2-y), also y< x+1
wenn ich die 3 Bedinugungen beachte müsste y zwischen 1 und 2 liegen. und x müsste kleiner 1 sein.
aber mir ist noch nicht klar, wie ich jetzt auf die günstigen und möglichen elemente komme.
vielen dank im vorraus!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 16.05.2010 | | Autor: | abakus |
> hallo, vielen dank für deine antwort!
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> allerdings bin ich noch immer nicht ganz schlau geworden,
> wie ich die wahrscheinlichkeit berechnen kann.
> Die 3. bedingung müsste lauten : (y-x)< x+(2-y), also y<
> x+1
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> wenn ich die 3 Bedinugungen beachte müsste y zwischen 1
> und 2 liegen. und x müsste kleiner 1 sein.
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> aber mir ist noch nicht klar, wie ich jetzt auf die
> günstigen und möglichen elemente komme.
>
> vielen dank im vorraus!
> gruß
Hallo,
x nimmt gleichverteilt einen möglichen Wert zwischen 0 und 2 an. Ermittle nur für jedes x die Wahrscheinlichkeit, dass y zufällig für ein Dreieck "gunstig" gewählt wird. Sei x beipielsweise 0,1. Der günstige Bereich für y beginnt bei 1 und endet bei 1,1 und y ist damit nur mit der Wahrscheinlichkeit 1/20 günstig.
Sei x beipielsweise 0,2. Der günstige Bereich für y beginnt bei 1 und endet bei 1,2 und y ist damit nur mit der Wahrscheinlichkeit 2/20 günstig.
Sei x beipielsweise 0,9. Der günstige Bereich für y beginnt bei 1 und endet bei 1,9 und y ist damit nur mit der Wahrscheinlichkeit 9/20 günstig.
Bis an x=1 heran wächst die Wahrscheinlichkeit für ein günstiges y linear von 0 bis an 10/20 heran an. von x=1 bis x=2 sind für y nur noch die Werte zwischen 0 und 2-x günstig, die Wahrscheinlichkeit sinkt also mit wachsendem x wieder linear bis auf Null.
Schauen wir uns nun nach einer Dichtefunktion um.
Zunächst mal die möglichen Fälle:
x geht von 0 bis 2, und jeder Wert ist konstant wahrscheinlich. Da die Fläche darunter 1 ergeben muss, ist die (Fläche unter der) Dichtefunktion ein Rechteck der Breite 2 und der Höhe 0,5.
Innerhalb dieser möglichen Fälle liegen die günstigen Fälle. Bei x=1 erreichen die günstigen Fälle immerhin die Hälfte des Möglichen, nach links und rechts sinken sie linear bis auf 0.
Die Fläche für die möglichen Fälle ist somit ein Dreieck mit den Eckpunkten (0|0); (2|0) und (1|0,25). Dieses Dreieck nimmt ein Viertel des Rechtecks ein.
Gruß Abakus
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