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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Di 04.11.2008 | | Autor: | julibaer |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich viele rote und schwarze Kugeln. Eine Stichprobe vom Umfang 50 erhält 20 rote Kugeln. Dies wurde mit Zurücklegen gewonnen.
a) WElche Größe wird man als Wahscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel annehmen?
) Nun sei p=0,4 für das ziehen einer roten Kugel. Bestimme:
- die Varianz bei einfachem ziehen mit zurücklegen
diie Varianz bei 50-fachemZiehen mit Zurücklegen?
den ERwartungswerrt der Anzajl der roten Kugeln bei 50fachem Ziehen mit Zurücklegen
-c) die Warhsceinlichkeit 20 rote Kugeln zu ziehen?c) p sei jetzt eine beliebige reelle Zahl zwischen 0 und 1. Zeige mit Hilfe der Differentialrechnung, dass die Wahrscheinlichkeit, 20 rote Kugeln beim 50fachen Ziehen zu erhalten, bei p=0,4 maximal ist. |
Hallo, bin im MatheLk und wir machen Stochastik, bin leider etwas irretiert momentan und habe ein paar fragen, vllt könnt ihr mir ja helfen:
Also zur Aufgabe:
.a)= Ist das denn nicht einfach 20/50 also p=0,4? oder ist das zu einfach gedacht...?
b) :
V(X)= 0,24 ? also Erwartungwert= p*n= 0,4 und dann mit 0,6 multiplizieren
V(X)=16? s.o Erwartungswert=20
E(X)= 20 ? (einfach nur n*p?)
p= 0,114 also 11,46%? 50 über 20 mal 0,4 ^ 20 mal 0,6^30
jezt kommt mein eigentliches problem bei c:
ich bin mir nicht sicher, ob wir das überhaupt schon hatten, Meine erste Idee ist über Extremwert, habe aber keine Ahnung wie.
DAnke für Die hilfe,
Liebe Grüße
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In einer Urne befinden sich viele rote und schwarze
> Kugeln. Eine Stichprobe vom Umfang 50 erhält 20 rote
> Kugeln. Dies wurde mit Zurücklegen gewonnen.
> a) WElche Größe wird man als Wahscheinlichkeit für das
> Ziehen einer roten Kugel annehmen?
> ) Nun sei p=0,4 für das ziehen einer roten Kugel.
> Bestimme:
> - die Varianz bei einfachem ziehen mit zurücklegen
> diie Varianz bei 50-fachemZiehen mit Zurücklegen?
> den ERwartungswerrt der Anzajl der roten Kugeln bei
> 50fachem Ziehen mit Zurücklegen
>
> -c) die Warhsceinlichkeit 20 rote Kugeln zu ziehen?c) p sei
> jetzt eine beliebige reelle Zahl zwischen 0 und 1. Zeige
> mit Hilfe der Differentialrechnung, dass die
> Wahrscheinlichkeit, 20 rote Kugeln beim 50fachen Ziehen zu
> erhalten, bei p=0,4 maximal ist.
> jezt kommt mein eigentliches problem bei c:
>
> ich bin mir nicht sicher, ob wir das überhaupt schon
> hatten, Meine erste Idee ist über Extremwert, habe aber
> keine Ahnung wie.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
a) und b) sehen richtig gelöst aus, eingetippt in den TR habe ich es nicht.
zu c)
Die Trefferwahrscheinlichkeit fürs Ziehen einer roten Kugel sei p.
Du machst n=50 Ziehungen und interessierst Dich für die Wahrscheinlichkeit, daß Du genau k=20 rote Kugeln ziehst.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist [mm] P=\vektor{50\\20}*p^{20}*(1-p)^{30}.
[/mm]
Soweit dürfte das klar sein, was ich dem, was Du zu a) und b) schriebt, entnehme.
Jetzt verdeutlichen wir uns nochmal, was P angibt: die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von p genau 20 rote aus 50 Kugeln gezogen werden.
Also gibt es die Wahrscheinlichkeit P in Abhängigkeit von der Trefferwahrscheinlichkeit p an, also ist P=P(p).
Nun interessierst Du Dich für das p, für welches P maximal wird. Und damit bist Du bei der Extremwertberechnung angekommen: berechne das Maximum von [mm] P=\vektor{50\\20}*p^{20}*(1-p)^{30}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 05.11.2008 | | Autor: | julibaer |
Hallo Angela,
Danke für die Hilfe.
Jetzt habe ich immer noch ein Problem, denn um den Extremwert zu bestimmen muss ich ja die Ableitung = 0 setzen oder?!
DAnn mach ich das mithilfe der Produktregel? dann habe ich ja u'(x)v(x)+ v'(x)u(X) also bei der Aufgabe habe ich dann folgendes:
20 [mm] \vektor{50 \\ 20} [/mm] p ^{19} (1-p)^ 30 - 30(1-p) [mm] \vektor{50 \\ 20} [/mm] p^(20)=0
allerdings weiß ich nicht genau wie ich dass dann auflöse. ich habe dann da
(1-p)^29 = 1,5p
wie löse ich das dann?
VIelen Danke,
Liebe Grüße
Julia
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Hallo Julia!
Da ist in Deiner Ableitung etwas verloren gegangen. Diese muss lauten:
$$P'(p) \ = \ [mm] 20*\vektor{50\\20}*p^{19}*(1-p)^{30}-30*\vektor{50\\20}*p^{20}*(1-p)^{\red{29}} [/mm] \ = \ 0$$
Klammere nun mal [mm] $10*\vektor{50\\20}*p^{19}*(1-p)^{29}$ [/mm] aus.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 05.11.2008 | | Autor: | julibaer |
Vielen Dank.
Wenn ich das augeklammert hat ist ja entweder das eine= 0 und das andere auch. also bekomme ich dann aus dem Teil in den Klammern [2(1-p)-3p]=0 für p=0,4 muss ich dann den anderen Teil auch noch lösen? weil damit habe ich es ja eigentlich schon gezeigt oder?
Vielen, vielen dank
Julia
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Hallo Julia!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sieht gut aus. Nun musst Du noch zeiegen, dass es sich wirklich um eine Maximum handelt. Dafür die 2. Ableitung bilden.
Die anderen Nullstellen der 1. Ableitung liegen ja bei $p \ = \ 0$ bzw. $p \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Mi 05.11.2008 | | Autor: | julibaer |
Danke, ihr habt mir echt geholfen!
Alles soweit klar.
Liebe Grüße
Julia
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