Stetigkeitsbeweis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Di 29.09.2009 | | Autor: | telli |
| Aufgabe | Berechnen Sie in allen Punkten, wo diese existieren, die partiellen Ableitungen
von
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch {sin(xy)} { \wurzel {x^2+y^2}}, & \mbox{wenn} (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{wenn } (x,y) \mbox{ =(0,0)} \end{cases}
[/mm]
und zeigen Sie, dass f in (0,0) stetig ist.
Ist f in (0,0) differenzierbar? |
[mm] \bruch {f}{dx}=\bruch{cos(xy)*y*\wurzel{x^2+y^2}-sin(xy)*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{(x^2+y^2)}}*2x}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{cos(xy)*y-sin(xy)*\bruch{1}{x^2+y^2}*x}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
bzw.
[mm] \bruch {f}{dy}=\bruch{cos(xy)*x-sin(xy)*\bruch{1}{x^2+y^2}*y}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Nun habe ich folgendes versucht um die Stetigkeit zu zeigen:
[mm] f(x,y)=\bruch{sin(xy)}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{x*y}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|x|*|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{||xy||^2}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] und da [mm] \wurzel{x^2+y^2}= [/mm] ||(x,y)||, gilt = f(x,y) [mm] \le \bruch{||(x,y)||^2}{||(x,y)||} [/mm] = ||(x,y)||
Wie komme ich nun mit dem Epsilon-Delta-Kriterium zum Beweis der Stetigkeit?
Vielen Dank für eure Hilfe!
h habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Di 29.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch nur beweisen dass [mm] |f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon [/mm] fuer
[mm] \wurzel{x^2-y^2}
in deinem Beweis ohne || ist falsch , dass sin(xy)<xy das gilt nicht fuer xy<0 aber sonst ist es ok. Aber es fehlt,ob die part. Abl. in o existieren.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Di 29.09.2009 | | Autor: | elfe83 |
Den epsilon-delta-Beweis brauchst du hier gar nicht, mit deiner Abschätzung kannst du die Stetigkeit im Nullpunkt zeigen, was ja auch gefragt war.
Jetzt musst du noch die partiellen Ableitungen im Nullpunkt untersuchen.
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