Stetigkeits-/Grenzwertbetracht < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mi 07.06.2006 | | Autor: | olhh |
| Aufgabe | Berechnen Sie zum Nachweis der Stetigkeit folgende Grenzwerte, nachdem Sie eine detaillierte und/oder zweiseitige Betrachtung für y=f(x) überlegt bzw. angewandt haben:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ c} e^{\bruch{1}{x-c}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1-2^\bruch{1}{x}}{1+2^\bruch{1}{x}}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x^3}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zur Klausurvorbereitung habe ich eben folgende Aufgaben gerechnet und würde meine Ergebnisse gerne mit Euch teilen, um zu schauen, ob ich richtige Ansätze verfolge oder ob ich total daneben liege.
Zu a: linkseitiger Grenzwert = 0, rechtsseitiger Grenzwert ist + [mm] \infty [/mm] => nicht stetig
Zu b:linkseitiger Grenzwert = 1, rechtsseitiger Grenzwert ist - 1 => nicht stetig
Zu c: linkseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert = -1
hmm, nun die große Frage: Ist die Funktion stetig? Ich meine f(1) ist ja nicht definiert, also würde ich sagen: Nein, ist nicht stetig. Andererseits: Was soll dann die ganze zweiseitige Grenzwertbetrachtung?
Meine Frage:
Seid Ihr mit meinen Lösungsansätzen für a und b einverstanden und sind sie richtig?
Was ist mit Aufgabe c) Stetig, weil linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger? oder nicht stetig, da f(1) nicht existiert?
Bin mir da unsicher.
Danke für Eure Hilfe,
viele Grüße
Oliver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 08.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oliver!
Bei Aufgabe a.) und b.) habe ich dieselben Ergebnisse wie Du. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei Aufgabe c.) erhalte ich jedoch unterschiedliche Grenzwerte bei links- und rechtsseitig:
[mm] $\bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-x)*\left(1+x+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+x+x^2}{1-x^3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+x^2}{1-x^3}$
[/mm]
Hier sollte man dann erkennen, dass beide Grenzwerte unterschiedlich sind.
Du hast Recht: bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ ist die Funktion nicht definiert, aber so kann man halt überprüfen, ob es sich bei der betrachteten Stelle auch eventuell um eine hebbare Definitionslückke handelt (ist es hier aber nicht).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Sa 10.06.2006 | | Autor: | olhh |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Antwort - hat mir sehr geholfen. Da bei c) die Funktion für f=1 nicht definiert ist, kann ich also davon ausgehen, dass sie nicht stetig ist.
Viele Grüße und schönes Wochenende
Oliver
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