Stetigkeit zeigen - die Zweite < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
$h : {]0,1[} [mm] \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases}$ [/mm] |
Frohe Weihnachten! 
Sicherlich nicht die beste Zeit für Mathe-Aufgaben, aber ich erledige Aufgaben lieber gleich, sobald sie draußen sind...
Es wäre sehr nett, wenn sich jemand meiner Lösung annehmen könnte, ob sie richtig/vollständig ist.
Wenn [mm] $0
Wenn [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] x < 1$ dann [mm] $\bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}.$ [/mm] $3x$ ist immer >0 und damit stetig. [mm] $3x^{2}+\bruch{5}{4}$ [/mm] ist ebenfalls immer >0 und besitzt somit keine Nullstelle.
Aus dem Satz
"Sind f und g stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich D, so sind auch f + g, f - g, f * g und $ [mm] \bruch{f}{g} [/mm] $ stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von $ [mm] \bruch{f}{g} [/mm] $ für den Fall, dass g eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich $ [mm] D':=\{x \in D : g(x)\not=0\} [/mm] $ eingeschränkt werden."
ergibt sich, dass [mm] $\bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}$ [/mm] stetig ist.
Also ist $h(x)$ stetig.
Vielen Dank für die Mühe und ich wünsche allen eine angenehme Weihnachts-/Neujahrszeit!
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Sa 25.12.2010 | | Autor: | nooschi |
äh nö, ist nicht wirklich gut :D
aalso: irgendwie scheint es so, als würdest du das Argument benutzen: "falls [mm] $f(x)\not= [/mm] 0$ [mm] $\forall x\in [/mm] I$ [mm] $\Rightarrow f|_I$ [/mm] ist stetig" ???
das stimmt natürlich nicht!
(edit: falls du das tatsächlich so gemeint haben solltest, hier ein Gegenbsp:
[mm] $f(x):=\begin{cases}2 & \forall x\in[0,2)\\ 3 & \forall x\in[2,\infty)\end{cases}$
[/mm]
$f$ ist nicht stetig aber $f>0$)
also für den Fall [mm] $0\leq x<\frac{1}{2}$ [/mm] kannst du den Satz verwenden: "Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig" und "Normen sind stetig"
für den Fall [mm] $\frac{1}{2}\leq [/mm] x<1$ kannst du den Satz verwenden den du angegeben hast, dazu musst du zeigen, dass der Zähler und Nenner stetig ist und der Nenner nie 0. (nie 0 hast du ja begründet, stetig noch nicht so wirklich, aber dass Polynome stetig sind ist ja eigentlich soweit klar)
oke, also das einzige Problem hast du also im Punkt [mm] $x=\frac{1}{2}$, [/mm] den hast du dummerweise vergessen (wenn es so eine Aufgabe gibt, wo Funktionen, die Intervallweise definiert sind, auf Stetigkeit überprüft werden sollen, läuft es oft darauf hinaus nur die Endpunkte der Intervalle zu überprüfen, weil im Innern der Intervalle die Stetigkeit sowieso klar ist...)
naja, hier musst du halt einfach den Rechtsseitigen und Linksseitigen Grenzwert betrachten, aber ist hier auch völlig trivial, dass die gleich sind.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
$ h : {]0,1[} [mm] \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo nooschi,
> äh nö, ist nicht wirklich gut :D
>
> aalso: irgendwie scheint es so, als würdest du das
> Argument benutzen: "falls [mm]f(x)\not= 0[/mm] [mm]\forall x\in I[/mm]
> [mm]\Rightarrow f|_I[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist stetig" ???
> das stimmt natürlich nicht!
ja, irgendwie war ich da gestern Abend plötzlich leider total auf dem falschen Dampfer...
Erneuter Versuch:
Fall $0<x<\bruch{1}{2}:$
$f(x):=\left| x^{2}-1 \right|$
Fall $\bruch{1}{2}\le x <1:$
$g(x):=\bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}$
> also für den Fall [mm]0\leq x<\frac{1}{2}[/mm] kannst du den Satz
> verwenden: "Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig"
> und "Normen sind stetig"
Normierte Räume haben wir leider nicht behandelt, deshalb versuche ich es so:
Für alle Folgen [mm] $x_{n} \in {]0,\bruch{1}{2}[}$ [/mm] gilt mit [mm] $\limes x_{n}=\bruch{1}{2}$, [/mm] dass [mm] $\lim f(x_n) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{2})$ [/mm] und somit ist $f$ stetig.
> für den Fall [mm]\frac{1}{2}\leq x<1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
kannst du den Satz
> verwenden den du angegeben hast, dazu musst du zeigen, dass
> der Zähler und Nenner stetig ist und der Nenner nie 0.
> (nie 0 hast du ja begründet, stetig noch nicht so
> wirklich, aber dass Polynome stetig sind ist ja eigentlich
> soweit klar)
Für alle Folgen $y_{n} \in [\bruch{1}{2},1[[red]}[/red] $ gilt mit $ \limes y_{n}=\bruch{1}{2} $, dass $ \lim g(y_n) = g(\bruch{1}{2}) $ und somit ist g stetig.
Wegen $+\bruch{5}{4}$ kann der Nenner nie 0 werden.
> oke, also das einzige Problem hast du also im Punkt
> [mm]x=\frac{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, den hast du dummerweise vergessen (wenn es
> so eine Aufgabe gibt, wo Funktionen, die Intervallweise
> definiert sind, auf Stetigkeit überprüft werden sollen,
> läuft es oft darauf hinaus nur die Endpunkte der
> Intervalle zu überprüfen, weil im Innern der Intervalle
> die Stetigkeit sowieso klar ist...)
> naja, hier musst du halt einfach den Rechtsseitigen und
> Linksseitigen Grenzwert betrachten, aber ist hier auch
> völlig trivial, dass die gleich sind.
Wegen $ f(\bruch{1}{2}) = g(\bruch{1}{2}) $ gilt dann für alle Folgen $ \xi_n $ aus ${]0,\bruch{1}{2}[} \cup [\bruch{1}{2},1[[red]}[/red]$ mit $\xi_{n} \to \bruch{1}{2}$, dass $h(\xi_{n}) \to h(\bruch{1}{2})$.
Also ist $h$ im Punkt $\bruch{1}{2}$ stetig. Und Da $f,g$ stetig sind, ist $h$ auf ${]0,\bruch{1}{2}[} \cup [\bruch{1}{2},1[[red]}[/red] = {]0,1[}$ stetig.
Stimmt das / gibt es eine einfachere Art, Stetigkeit hier zu zeigen?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 25.12.2010 | | Autor: | nooschi |
> ja, irgendwie war ich da gestern Abend plötzlich leider
> total auf dem falschen Dampfer...
> Erneuter Versuch:
>
> Fall [mm]0
>
> [mm]f(x):=\left| x^{2}-1 \right|[/mm]
>
> Fall [mm]\bruch{1}{2}\le x <1:[/mm]
>
> [mm]g(x):=\bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}[/mm]
>
> > also für den Fall [mm]0\leq x<\frac{1}{2}[/mm] kannst du den Satz
> > verwenden: "Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig"
> > und "Normen sind stetig"
>
> Normierte Räume haben wir leider nicht behandelt, deshalb
> versuche ich es so:
>
> Für alle Folgen [mm]x_{n} \in {]0,\bruch{1}{2}[}[/mm] gilt mit
> [mm]\limes x_{n}=\bruch{1}{2}[/mm], dass [mm]\lim f(x_n) = f(\bruch{1}{2})[/mm]
> und somit ist [mm]f[/mm] stetig.
nein! mit dem was du schreibst, zeigst du nur, dass $f$ in [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] linksseitig stetig ist!
> > für den Fall [mm]\frac{1}{2}\leq x<1[/mm] kannst du den Satz
> > verwenden den du angegeben hast, dazu musst du zeigen, dass
> > der Zähler und Nenner stetig ist und der Nenner nie 0.
> > (nie 0 hast du ja begründet, stetig noch nicht so
> > wirklich, aber dass Polynome stetig sind ist ja eigentlich
> > soweit klar)
>
> Für alle Folgen [mm]y_{n} \in [\bruch{1}{2},1[}[/mm] gilt mit
> [mm]\limes y_{n}=\bruch{1}{2} [/mm], dass [mm]\lim g(y_n) = g(\bruch{1}{2})[/mm]
> und somit ist g stetig.
> Wegen [mm]+\bruch{5}{4}[/mm] kann der Nenner nie 0 werden.
nein! mit dem zeigst du rechtsseitige Stetigkeit im Punkt [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
also betrachten wir jetzt erst mal den Punkt [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
du musst zeigen:
[mm] $\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}h(x)$
[/mm]
(dass die beiden Grenzwerte überhaupt existieren muss man auch noch kurz erwähnen, aber das ist genau die Aussage die du oben bewiesen hast, also das mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert)
das ist jetzt wie gesagt sehr einfach zu zeigen:
[mm] $\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}|x^2-1|=\frac{3}{4}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}\frac{3x}{3x^2+\frac{5}{4}}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}h(x)$
[/mm]
wie du sonst die Stetigkeit beweisen willst, kann ich dir nicht so wirklich helfen, ich müsste dazu wissen, was ihr bisher in der Vorlesung bewiesen habt. Üblicherweise ist eines der ersten Beispiele die man zu Stetigkeit beweist, dass Polynome allgemein immer stetig sind.
Wenn ihr erst das [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] habt (was ich mir eigentlich fast nicht vorstellen kann), dann kannst du zB leicht beweisen, dass $f(x):=x$ stetig ist (Sei [mm] $\epsilon [/mm] >0$, wähle [mm] $\delta :=\epsilon$. [/mm] Dann, falls [mm] $|x-y|<\delta$, [/mm] gilt [mm] $|f(x)-f(y)|=|x-y|<\epsilon$). [/mm] Dann hast du ja mal einen Satz in den Raum geworfen (in deinem ersten Post): Produkte stetiger Funktionen sind stetig. [mm] $\Rightarrow f(x)\cdot f(x)=x^2$ [/mm] ist stetig. Ja und jetzt könnte man noch beweisen, dass konstante Funktionen stetig sind: sei $f(x)=c$, [mm] $\epsilon [/mm] >0$, [mm] $\delta [/mm] :=1$. Falls $|x-y|<1 [mm] \Rightarrow |f(x)-f(y)|=|c-c|=0<\epsilon$
[/mm]
Jetzt wieder mit dem Satz von deinem ersten Post ist die Summe stetiger Funktionen stetig, d.h. [mm] $1-x^2$ [/mm] ist stetig. Für [mm] $x\in ]0,\frac{1}{2}[$ [/mm] entspricht dies ja gerade deiner Funktion.
Naja, den zweiten Teil könnte man wieder so zeigen, nur eben ist das wie gesagt sehr hässlich und meiner Meinung nach, habt ihr da bestimmt schon mehr Sätze dazu, die helfen könnten, deshalb führe ich das hier nicht weiter aus.
Sooo, ich gehe jetzt ab in den Urlaub, Antwort von mir wird's wohl keine mehr geben ;)
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
$ h : {]0,1[} [mm] \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo nooschi,
> > Erneuter Versuch:
> >
> > Fall [mm]0
> >
> > [mm]f(x):=\left| x^{2}-1 \right|[/mm]
> >
> > Fall [mm]\bruch{1}{2}\le x <1:[/mm]
> >
> > [mm]g(x):=\bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}[/mm]
> >
> > > also für den Fall [mm]0\leq x<\frac{1}{2}[/mm] kannst du den Satz
> > > verwenden: "Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig"
> > > und "Normen sind stetig"
> >
> > Normierte Räume haben wir leider nicht behandelt, deshalb
> > versuche ich es so:
> >
> > Für alle Folgen [mm]x_{n} \in {]0,\bruch{1}{2}[}[/mm] gilt mit
> > [mm]\limes x_{n}=\bruch{1}{2}[/mm], dass [mm]\lim f(x_n) = f(\bruch{1}{2})[/mm]
> > und somit ist [mm]f[/mm] stetig.
>
> nein! mit dem was du schreibst, zeigst du nur, dass [mm]f[/mm] in
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] linksseitig stetig ist!
>
>
> > > für den Fall [mm]\frac{1}{2}\leq x<1[/mm] kannst du den Satz
> > > verwenden den du angegeben hast, dazu musst du zeigen, dass
> > > der Zähler und Nenner stetig ist und der Nenner nie 0.
> > > (nie 0 hast du ja begründet, stetig noch nicht so
> > > wirklich, aber dass Polynome stetig sind ist ja eigentlich
> > > soweit klar)
> >
> > Für alle Folgen [mm]y_{n} \in [\bruch{1}{2},1[}[/mm] gilt mit
> > [mm]\limes y_{n}=\bruch{1}{2} [/mm], dass [mm]\lim g(y_n) = g(\bruch{1}{2})[/mm]
> > und somit ist g stetig.
> > Wegen [mm]+\bruch{5}{4}[/mm] kann der Nenner nie 0 werden.
>
> nein! mit dem zeigst du rechtsseitige Stetigkeit im Punkt
> [mm]\frac{1}{2}[/mm]
Nur falls es nicht zuviel verlangt ist... Warum war dieser Ansatz für eine andere Aufgabe unter diesem Link ausreichend?
> also betrachten wir jetzt erst mal den Punkt [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> du musst zeigen:
> [mm]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}h(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Muss das unter dem zweiten Limes nicht $x \ge \frac{1}{2}}$ heißen?
> (dass die beiden Grenzwerte überhaupt existieren muss man
> auch noch kurz erwähnen, aber das ist genau die Aussage
> die du oben bewiesen hast, also das mit dem rechtsseitigen
> und linksseitigen Grenzwert)
> das ist jetzt wie gesagt sehr einfach zu zeigen:
> [mm]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}|x^2-1|=\frac{3}{4}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}\frac{3x}{3x^2+\frac{5}{4}}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}h(x)[/mm]
Damit ist die Aufgabe erledigt?
> Sooo, ich gehe jetzt ab in den Urlaub, Antwort von mir
> wird's wohl keine mehr geben ;)
Danke für den support & einen schönen Urlaub!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Sa 25.12.2010 | | Autor: | nooschi |
> Nur falls es nicht zuviel verlangt ist... Warum war dieser
> Ansatz für eine andere Aufgabe unter diesem
> Link ausreichend?
weil da in der Aufgabestellung bereits gegeben ist, dass f und g stetig sind! du hast also nur noch den "Grenzpunkt" betrachten müssen, in unserem Fall also den Punkt [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] wie gesagt, mit deiner Argumentation zeigst du nur rechts- und linksseitige Stetigkeit in dem Punkt [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] und wenn der Grenzwert noch gleich ist hast du damit Stetigkeit im Punkt [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] Aber nur in diesem Punkt!
(in der anderen Aufgabenstellung hast du eben bereits gegeben, dass die Funktion in jedem anderen Punkt auch stetig ist.)
> > also betrachten wir jetzt erst mal den Punkt [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> > du musst zeigen:
> > [mm]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}h(x)[/mm]
>
> Muss das unter dem zweiten Limes nicht [mm]x \ge \frac{1}{2}}[/mm]
> heißen?
Joa, doch wäre besser :D
> > (dass die beiden Grenzwerte überhaupt existieren muss man
> > auch noch kurz erwähnen, aber das ist genau die Aussage
> > die du oben bewiesen hast, also das mit dem rechtsseitigen
> > und linksseitigen Grenzwert)
> > das ist jetzt wie gesagt sehr einfach zu zeigen:
> > [mm]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}|x^2-1|=\frac{3}{4}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}\frac{3x}{3x^2+\frac{5}{4}}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x>\frac{1}{2}}h(x)[/mm]
>
> Damit ist die Aufgabe erledigt?
Nein! damit ist sie Stetigkeit im Punkt [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] erledigt! in jedem anderen Punkt ist es noch zu zeigen (zum Beispiel so, wie in meinem vorigen Post angedeutet, oder falls du noch bessere Sätze hast.....)
> > Sooo, ich gehe jetzt ab in den Urlaub, Antwort von mir
> > wird's wohl keine mehr geben ;)
>
> Danke für den support & einen schönen Urlaub!
Bitte und jetzt bin ich auch wirklich weg, Zug fährt gleich ;)
(und in den Bergen kein Internet :P)
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
$ h : {]0,1[} [mm] \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases} [/mm] $ |
Hallo nooschi,
ich fasse mal den bisherigen Stand zusammen, damit ich potenziellen anderen Helfern das Helfen nicht unnötig schwer mache.
1.)
Fall $ [mm] 0
$ [mm] f(x):=\left| x^{2}-1 \right| [/mm] $
Für alle Folgen $ [mm] x_{n} \in {]0,\bruch{1}{2}[} [/mm] $ gilt mit $ [mm] \limes x_{n}=\bruch{1}{2} [/mm] $, dass $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{2}) [/mm] $ und somit ist $ f $ in $ [mm] \frac{1}{2} [/mm] $ linksstetig.
Fall $ [mm] \bruch{1}{2}\le [/mm] x <1: $
$ [mm] g(x):=\bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4} $
Für alle Folgen $ y_{n} \in [\bruch{1}{2},1[} [/mm] $ gilt mit $ [mm] \limes y_{n}=\bruch{1}{2} [/mm] $, dass $ [mm] \lim g(y_n) [/mm] = [mm] g(\bruch{1}{2}) [/mm] $ und somit ist g in $ [mm] \frac{1}{2} [/mm] $ rechtsstetig.
2.)
[mm]\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}h(x)=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x<\frac{1}{2}}|x^2-1|=\frac{3}{4}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x\ge\frac{1}{2}}\frac{3x}{3x^2+\frac{5}{4}}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}, x\ge\frac{1}{2}}h(x)[/mm]
Damit ist die Stetigkeit im Punkt [mm]\frac{1}{2}[/mm] gezeigt.
3.)
$(i)$ [mm] $x^{2}-1$ [/mm] ist ein Polynom (quadratische Funktion) und damit stetig. Also ist auch die Betragsfunktion [mm] $\left| x^{2}-1 \right|$ [/mm] laut Vorlesung stetig.
$(ii)$ $3x$ ist ein Polynom (lineare Funktion) und damit stetig.
[mm] $3x^{2}+\bruch{5}{4}$ [/mm] ist ein Polynom (quadratische Funktion) und damit stetig.
Da die Definitionsmenge nur positive Elemente erlaubt, gilt [mm] $3x^{2}+\bruch{5}{4}>0$ [/mm] und da die beiden Funktionen (im Zähler und Nenner) stetig sind, ist auch der Quotient stetig.
Aus 1.), 2.) und 3.) ergibt sich, dass $h(x)$ stetig ist für $x [mm] \in [/mm] {]0,1[}.$
Meine beiden Fragen:
- Stimmt jetzt alles bzw. ist alles vollständig?
- Ist diese ganze Prozedur 1.), 2.) und 3.) so nötig gewesen, oder wäre es auch leichter/kürzer gegangen?
> Bitte und jetzt bin ich auch wirklich weg, Zug fährt
> gleich ;)
> (und in den Bergen kein Internet :P)
>
Viel Spaß in den Bergen!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 So 26.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich hätte die Argumentation in anderer Reihenfolge gemacht.
Die Argumente in (3.i) und (3.ii) zeigen das die Funktionen auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen stetig sind. Aus der Stetigkeit einer Funktion h(x) folgt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}h(x_n)=h(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) [/mm] solange die Folge [mm] x_n [/mm] auf den jeweiligen Definitionsbereich eingeschränkt wird.
Jetzt bildest Du den links- und rechtsseitigen Grenzwert für Deine Funktionen f(x) und g(x). Da Sie stetig sind gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)=\br{3}{4} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n)=g(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)=\br{3}{4}
[/mm]
also stimen die rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwerte überein und die Funktion ist stetig.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
$ h : {]0,1[} [mm] \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases} [/mm] $ |
Hi ullim,
habe ich das richtig verstanden:
Zuerst 3.) (i)(ii), dann 1.) und dann 2.) ?
Hätte man 1.) eigentlich komplett weglassen können oder ist das essenziell?
Irgendwie seltsam, dass mir diese Aufgabe so massive Schwierigkeiten bereitet...
Danke
&
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 26.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
1. und und 2. sind schon essentiell. Damit wird ja gerade die Stetigkeit im Punkt [mm] x=\br{1}{2} [/mm] gezeigt. Aber es ist so das aus der Stetigkeit folgt das man den limes in die Funktion ziehen kann und nicht umgekehrt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 So 26.12.2010 | | Autor: | el_grecco |
Danke ullim für Deine Hilfe.
Falls Du mal 'ne Minute frei hast, wäre es sehr nett, wenn Du einen Blick in diese Frage werfen könntest, denn dann wäre ich (endlich) mit diesem Übungsblatt fertig:
Link-Text
Aber wirklich nur, wenn es nicht zuviel verlangt ist!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
$ h : {]0,1[} \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases} $ |
Hallo,
nachdem ich gerade die Musterlösung gesehen habe und sehr darüber erstaunt bin, wie niedrig das Anforderungslevel der Vorlesung ist und wieviel Zeit ich in diese Aufgabe gesteckt habe, möchte ich Euch die Musterlösung nicht vorenthalten:
Zunächst sieht man ein, dass die Funktion $x \mapsto \left| x^{2}-1 \right|$ stetig ist, denn es sind $\left| * \right|,$ Polynome und Verknüpfungen stetiger Funktionen stetig. Die Funktion $x \mapsto \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}$ ist eine rationale Funktion mit nirgendsverschwindendem Nenner und somit stetig. Es reicht die Funktionswerte beider Funktionen bei $\bruch{1}{2}$ zu vergleichen.
Man berechnet:
$\left| \left( \bruch{1}{2} \right)-1 \right|=\bruch{3}{4}=\bruch{3*\bruch{1}{2}}{3*\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}+\bruch{5}{4}}$
Es folgt die Behauptung.
Das war's schon!
Meine Frage: ist das wirklich ausreichend oder ist das Mathematik für Dummys?
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es soll die Stetigkeit der Funktion gezeigt werden:
>
> [mm]h : {]0,1[} \to \IR, h(x):=\begin{cases} \left| x^{2}-1 \right|, & \mbox{für } x<\bruch{1}{2}, \\ \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}}, & \mbox{für } x \ge \bruch{1}{2}. \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> nachdem ich gerade die Musterlösung gesehen habe und sehr
> darüber erstaunt bin, wie niedrig das Anforderungslevel
> der Vorlesung ist und wieviel Zeit ich in diese Aufgabe
> gesteckt habe, möchte ich Euch die Musterlösung nicht
> vorenthalten:
>
>
> Zunächst sieht man ein, dass die Funktion [mm]x \mapsto \left| x^{2}-1 \right|[/mm]
> stetig ist, denn es sind [mm]\left| * \right|,[/mm] Polynome und
> Verknüpfungen stetiger Funktionen stetig. Die Funktion [mm]x \mapsto \bruch{3x}{3x^{2}+\bruch{5}{4}[/mm]
> ist eine rationale Funktion mit nirgendsverschwindendem
> Nenner und somit stetig. Es reicht die Funktionswerte
> beider Funktionen bei [mm]\bruch{1}{2}[/mm] zu vergleichen.
>
> Man berechnet:
>
> [mm]\left| \left( \bruch{1}{2} \right)-1 \right|=\bruch{3}{4}=\bruch{3*\bruch{1}{2}}{3*\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}+\bruch{5}{4}}[/mm]
Da stand sicher:
[mm]\left| \left( \bruch{1}{2} \right)^2-1 \right|=\bruch{3}{4}=\bruch{3*\bruch{1}{2}}{3*\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}+\bruch{5}{4}}[/mm]
>
> Es folgt die Behauptung.
>
>
> Das war's schon!
> Meine Frage: ist das wirklich ausreichend oder ist das
> Mathematik für Dummys?
Wenn Du nichts weggelassen hast ja. Obiges ist vielleicht die Kurzform von:
[mm]\left| \left( \bruch{1}{2} \right)^2-1 \right|= \limes_{x\rightarrow 1/2-0}h(x) =3/4= h(1/2)=\bruch{3*\bruch{1}{2}}{3*\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}+\bruch{5}{4}}= \limes_{x\rightarrow 1/2+0}h(x)[/mm]
FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Di 18.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Fred,
> Da stand sicher:
>
> [mm]\left| \left( \bruch{1}{2} \right)^2-1 \right|=\bruch{3}{4}=\bruch{3*\bruch{1}{2}}{3*\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}+\bruch{5}{4}}[/mm]
den Exponenten haben die tatsächlich vergessen und mir ist dieser Fehler beim Abtippen leider nicht aufgefallen...
> > Es folgt die Behauptung.
> >
> >
> > Das war's schon!
> > Meine Frage: ist das wirklich ausreichend oder ist das
> > Mathematik für Dummys?
>
> Wenn Du nichts weggelassen hast ja. Obiges ist vielleicht
> die Kurzform von:
>
> [mm]\left| \left( \bruch{1}{2} \right)^2-1 \right|= \limes_{x\rightarrow 1/2-0}h(x) =3/4= h(1/2)=\bruch{3*\bruch{1}{2}}{3*\left( \bruch{1}{2} \right)^{2}+\bruch{5}{4}}= \limes_{x\rightarrow 1/2+0}h(x)[/mm]
Einerseits ärgerlich, wieviel Zeit ich in diese Aufgabe investiert habe, andererseits war der Lerneffekt umso besser.
> FRED
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
|
|
|
|
