Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:19 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] eine Funktion mit f(0)=1 und [mm] f(x+y)\le f(x)\cdot [/mm] f(y). Weiterhin sei f in 0 stetig.
Beweisen Sie, dass f stetig ist! Begründen sie weiterhin, dass die Aussauge auch einen weiteren Beweis für die Stetigkeit der Exponentialfunktion liefert. |
Da f nicht konkret gegeben ist, dachte ich zunächst an lipschitz stetigkeit.
So richtig viel weiter hats mich allerdings auch nicht gebracht.
Ich müsste ja nun zeigen:
|f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
aber irgendwie fehlt mir da noch der ansatz :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine Funktion mit f(0)=1 und [mm]f(x+y)\le f(x)\cdot f(y)[/mm].
>
> Beweisen Sie, dass f stetig ist! Begründen sie weiterhin,
> dass die Aussauge auch einen weiteren Beweis für die
> Stetigkeit der Exponentialfunktion liefert.
> Da f nicht konkret gegeben ist, dachte ich zunächst an
> lipschitz stetigkeit.
was Du vergessen kannst, weil [mm] $\exp: \IR \to \IR$ [/mm] erfüllt:
[mm] $\exp(0)=1\,$ [/mm] gilt, [mm] $\exp(x+y)=\exp(x)*\exp(y)\,,$ [/mm] aber [mm] $\exp$ [/mm] ist NICHT
Lipschitzsch, denn [mm] $\exp\,'=\exp$ [/mm] ist unbeschränkt. (Schau den Satz nach,
etwa bei Wiki: Ist $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar, so ist [mm] $g\,$ [/mm] genau dann
Lipschitzsch, wenn [mm] $g\,'$ [/mm] beschränkt!)
> So richtig viel weiter hats mich allerdings auch nicht
> gebracht.
>
> Ich müsste ja nun zeigen:
>
> |f(x)-f(y)| < [mm]\varepsilon[/mm]
Nein, Du musst zeigen: Ist [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, und ist
[mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest vorgegeben, so gibt es ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\varepsilon} [/mm] > 0$ so,
dass [mm] $|f(x_0)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] gilt.
Dürft Ihr schon "Stetig=Folgenstetig" benutzen?
Und kannst Du nochmal gucken, ob die Aussage wirklich so stimmt, wie sie
oben steht? Nicht, dass nachher [mm] $f\,$ [/mm] nur [mm] $\ge [/mm] 0$ sein soll, oder dass
da irgendwelche Beträge bei der Ungleichung fehlen...
Was man jedenfalls schonmal direkt einsieht:
[mm] $f\,$ [/mm] hat keine Nullstellen: Wäre dem doch so, sei also [mm] $x_N \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x_N)=0\,,$ [/mm] so folgte
[mm] $$1=f(0)=f(x_N+(-x_N)) \le f(x_N)*f(-x_N)=0*f(-x_N)=0\,,$$
[/mm]
also der Widerspruch $1 [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Nunja, wirklich mehr habe ich mir bis jetzt auch noch nicht überlegt - bei
der Stetigkeit der Exponentialfunktion führt man die Stetigkeit an einer
beliebigen Stelle ja auf die an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] zurück. Vielleicht gibt's bei
obigem [mm] $f\,$ [/mm] ja auch noch eine Information, die hier verschwiegen wurde?
Kann sein, dass ich mich täusche, aber gefühlsmäßig kommt's mir halt so
vor, als wenn man nur mit den obigen Voraussetzungen noch nicht die
Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] folgern könnte. Aber da ich - wie gesagt - noch nicht
wirklich drüber nachgedacht habe: Vielleicht irre ich mich da auch einfach...
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine Funktion mit f(0)=1 und [mm]f(x+y)\le f(x)\cdot f(y)[/mm].
>
> >
> > Beweisen Sie, dass f stetig ist! Begründen sie weiterhin,
> > dass die Aussauge auch einen weiteren Beweis für die
> > Stetigkeit der Exponentialfunktion liefert.
> > Da f nicht konkret gegeben ist, dachte ich zunächst an
> > lipschitz stetigkeit.
>
> was Du vergessen kannst, weil [mm]\exp: \IR \to \IR[/mm] erfüllt:
> [mm]\exp(0)=1\,[/mm] gilt, [mm]\exp(x+y)=\exp(x)*\exp(y)\,,[/mm] aber [mm]\exp[/mm]
> ist NICHT
> Lipschitzsch, denn [mm]\exp\,'=\exp[/mm] ist unbeschränkt. (Schau
> den Satz nach,
> etwa bei Wiki: Ist [mm]g: \IR \to \IR[/mm] differenzierbar, so ist
> [mm]g\,[/mm] genau dann
> Lipschitzsch, wenn [mm]g\,'[/mm] beschränkt!)
>
Okay das sehe ich ein.
Ich hab daran sofort wegen [mm] f(x+y)\le f(x)\cdot [/mm] f(y) gedacht. Allerdings muss dafür f natürlich nicht beschränkt sein.
> Nunja, wirklich mehr habe ich mir bis jetzt auch noch nicht
> überlegt - bei
> der Stetigkeit der Exponentialfunktion führt man die
> Stetigkeit an einer
> beliebigen Stelle ja auf die an der Stelle [mm]0\,[/mm] zurück.
> Vielleicht gibt's bei
> obigem [mm]f\,[/mm] ja auch noch eine Information, die hier
> verschwiegen wurde?
>
> Kann sein, dass ich mich täusche, aber gefühlsmäßig
> kommt's mir halt so
> vor, als wenn man nur mit den obigen Voraussetzungen noch
> nicht die
> Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] folgern könnte. Aber da ich - wie
> gesagt - noch nicht
> wirklich drüber nachgedacht habe: Vielleicht irre ich
> mich da auch einfach...
>
> Gruß,
> Marcel
Da war tatsächlich ein Fehler im Übungsblatt. Ich hatte leider noch die alte Version. Hinzu kommt, dass f in 0 stetig ist.
Ansonsten stimmt aber alles.
Folgenstetigkeit dürfen wir übrigens verwenden. Allerdings dachte ich, dass man diese eher verwendet um zu zeigen, dass eine Funktion nicht an einer stelle [mm] x_0 [/mm] stetig ist.
Lg. Hellsing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine Funktion mit f(0)=1 und [mm]f(x+y)\le f(x)\cdot f(y)[/mm].
>
> >
> > >
> > > Beweisen Sie, dass f stetig ist! Begründen sie weiterhin,
> > > dass die Aussauge auch einen weiteren Beweis für die
> > > Stetigkeit der Exponentialfunktion liefert.
> > > Da f nicht konkret gegeben ist, dachte ich zunächst
> an
> > > lipschitz stetigkeit.
> >
> > was Du vergessen kannst, weil [mm]\exp: \IR \to \IR[/mm] erfüllt:
> > [mm]\exp(0)=1\,[/mm] gilt, [mm]\exp(x+y)=\exp(x)*\exp(y)\,,[/mm] aber [mm]\exp[/mm]
> > ist NICHT
> > Lipschitzsch, denn [mm]\exp\,'=\exp[/mm] ist unbeschränkt.
> (Schau
> > den Satz nach,
> > etwa bei Wiki: Ist [mm]g: \IR \to \IR[/mm] differenzierbar, so
> ist
> > [mm]g\,[/mm] genau dann
> > Lipschitzsch, wenn [mm]g\,'[/mm] beschränkt!)
> >
> Okay das sehe ich ein.
> Ich hab daran sofort wegen [mm]f(x+y)\le f(x)\cdot[/mm] f(y)
> gedacht. Allerdings muss dafür f natürlich nicht
> beschränkt sein.
>
> > Nunja, wirklich mehr habe ich mir bis jetzt auch noch nicht
> > überlegt - bei
> > der Stetigkeit der Exponentialfunktion führt man die
> > Stetigkeit an einer
> > beliebigen Stelle ja auf die an der Stelle [mm]0\,[/mm] zurück.
> > Vielleicht gibt's bei
> > obigem [mm]f\,[/mm] ja auch noch eine Information, die hier
> > verschwiegen wurde?
> >
> > Kann sein, dass ich mich täusche, aber gefühlsmäßig
> > kommt's mir halt so
> > vor, als wenn man nur mit den obigen Voraussetzungen noch
> > nicht die
> > Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] folgern könnte. Aber da ich - wie
> > gesagt - noch nicht
> > wirklich drüber nachgedacht habe: Vielleicht irre ich
> > mich da auch einfach...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Da war tatsächlich ein Fehler im Übungsblatt. Ich hatte
> leider noch die alte Version. Hinzu kommt, dass f in 0
> stetig ist.
> Ansonsten stimmt aber alles.
wirklich? Okay: Aber die Stetigkeit in [mm] $0\,$ [/mm] werden wir gut gebrauchen
können:
[mm] [blue]$(\*)$ [/mm] Weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist, ist [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere auf einer Umgebung
von [mm] $0\,$ [/mm] stets echt $> [mm] 0\,,$ [/mm] wobei man auch $f(0)=1 > [mm] 0\,$ [/mm] beachten sollte.[/blue]
> Folgenstetigkeit dürfen wir übrigens verwenden.
> Allerdings dachte ich, dass man diese eher verwendet um zu
> zeigen, dass eine Funktion nicht an einer stelle [mm]x_0[/mm] stetig
> ist.
Na, auch Unstetigkeit an einer Stelle kann man mit dem Folgenkriterium
formulieren...
Aber okay: Die Stetigkeit von obigem [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0\,$ [/mm] ist nun
klar, weil sie ja laut Voraussetzung gilt. Sei nun [mm] $x_0 \not=0\,.$ [/mm] Seien
[mm] $h_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $h_n \to [/mm] 0$ und so, dass [mm] $f(h_n) [/mm] > 0$ und [mm] $f(-h_n) [/mm] > 0$
für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] (Letztgenanntes kann man o.E. wegen [mm] $(\*)$ [/mm] (blaue
Bemerkung) fordern!)
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $f(x_0+h_n) \to f(x_0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt.
1. Es gilt
[mm] $$f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)$$
[/mm]
für jedes $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
2. Es gilt
[mm] $$f(x_0)=f(x_0+h_n-h_n) \le f(x_0+h_n)*f(-h_n)$$
[/mm]
und wegen [mm] $f(-h_n) [/mm] > 0$ somit unter Einbezug von 1.:
[mm] $$\frac{f(x_0)}{f(-h_n)} \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)\,.$$
[/mm]
Bekommst Du nun den Rest alleine hin? (Beachte: [mm] $h_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
hat natürlich auch [mm] $-h_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] zur Folge - und es gilt,
weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist und wegen [mm] $f(0)=1\,$ [/mm] auch [mm] $\lim_{n \to \infty} f(\pm h_n)=f(0)=1\,.$)
[/mm]
P.S.: Zur Zusatzfrage: Beweise halt die Stetigkeit von [mm] $\exp$ [/mm] an der Stelle
[mm] $0\,$ [/mm] noch, dann zeigt der obige Beweis dann insbesondere die Stetigkeit
der Exponentialfunktion an allen Stellen [mm] $x_0 \in \IR\,,$ [/mm] weil dann für
[mm] $\exp$ [/mm] nachgewiesen wurde, dass [mm] $\exp$ [/mm] alle Voraussetzungen, die an
eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] wie oben gestellt wurden, erfüllt. Beachte auch: Wegen
[mm] $$\exp(x+y)=\exp(x)*\exp(y)$$
[/mm]
gilt auch insbesondere
[mm] $$\exp(x+y) \le \exp(x)*\exp(y)$$
[/mm]
für alle $x,y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> > Da war tatsächlich ein Fehler im Übungsblatt. Ich hatte
> > leider noch die alte Version. Hinzu kommt, dass f in 0
> > stetig ist.
> > Ansonsten stimmt aber alles.
>
> wirklich? Okay: Aber die Stetigkeit in [mm]0\,[/mm] werden wir gut
> gebrauchen
> können:
> [mm](\*)[/mm] Weil [mm]f\,[/mm] stetig in [mm]0\,[/mm] ist, ist [mm]f\,[/mm] insbesondere auf
> einer Umgebung
> von [mm]0\,[/mm] stets echt [mm]> 0\,,[/mm] wobei man auch [mm]f(0)=1 > 0\,[/mm]
> beachten sollte.
Okay das ist mir denke ich mal klar. Da f stetig ist mit f(0)=1>0, verändern sich die Funktionswerte um die 0 nur geringfügig, wenn ich mein Argument änder. Also gibt es auch links von der 0, Funktionswerte die echt größer als die 0 sind.
> Aber okay: Die Stetigkeit von obigem [mm]f\,[/mm] an der Stelle
> [mm]x_0=0\,[/mm] ist nun
> klar, weil sie ja laut Voraussetzung gilt. Sei nun [mm]x_0 \not=0\,.[/mm]
> Seien
> [mm]h_n \in \IR[/mm] mit [mm]h_n \to 0[/mm] und so, dass [mm]f(h_n) > 0[/mm] und
> [mm]f(-h_n) > 0[/mm]
> für alle [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Letztgenanntes kann man o.E. wegen
> [mm](\*)[/mm] (blaue
> Bemerkung) fordern!)
Bis hierhin verstehe ich noch alles
> Zu zeigen ist nun, dass [mm]f(x_0+h_n) \to f(x_0)[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]
> gilt.
Wir zeigen also, dass die Funktion egal an welchen Punkt wir ansätzen immer gegen die Funktionswerte konvergieren.
> 1. Es gilt
> [mm]f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)[/mm]
> für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm]
>
> 2. Es gilt
> [mm]f(x_0)=f(x_0+h_n-h_n) \le f(x_0+h_n)*f(-h_n)[/mm]
> und wegen
> [mm]f(-h_n) > 0[/mm] somit unter Einbezug von 1.:
> [mm]\frac{f(x_0)}{f(-h_n)} \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)\,.[/mm]
>
> Bekommst Du nun den Rest alleine hin?
Ich versuchs zumindestens mal ^^
Also, setzen wir hier an:
[mm] \frac{f(x_0)}{f(-h_n)} \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)
[/mm]
Wegen der Stetigkeit im 0 Punkt ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(-h_n) [/mm] = f(0) = 1, und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(h_n) [/mm] = f(0) = 1.
Infolgedessen gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_0)}{f(-h_n)}= f(x_0)
[/mm]
und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0)*f(h_n) [/mm] = [mm] f(x_0)*1=f(x_0)
[/mm]
Insgesamt gilt also nach (2) unter berücksichtigung von (1):
[mm] f(x_0)\le f(x_0+h_n) \le f(x_0)
[/mm]
Nach dem Einschlusskriterium konvergiert also auch:
[mm] f(x_0+h_n) [/mm] für jeden Punkt [mm] x_0 [/mm] gegen [mm] f(x_0), [/mm] ganz konkret gilt also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0+h_n) =f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_0+h_n) [/mm] = [mm] f(x_0)
[/mm]
Also ist f in jedem Punkt [mm] x_0 [/mm] stetig, weil [mm] x_0 [/mm] beliebig gewählt war.
Okay, da die Exponentialfunktion alle Eigenschaften wie die allgemeine Funktion von oben hat, können wir den Beweis auf die e-Funktion übertragen.
Da der Beweis darauf aufbaut, dass die Funktion im Nullpunkt stetig ist müssen wir dies noch für die e-Funktion zeigen.
Das versuche ich dann allerdings morgen :)
Ich glaube ich hab den Beweis sogar schonmal gesehen. Die Grundidee ist, dass [mm] |e^a_n [/mm] - 1| gegen 0 konvergiert.
Man muss das ganze also nur über die e-Reihe abschätzen, und zeigen dass es gegen 0 konvergiert.
Ich werde es morgen wie gesagt mal versuchen und mich dann ggf. melden.
Vielen dank für deine Hilfe,
mfg. Hellsing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Da war tatsächlich ein Fehler im Übungsblatt. Ich hatte
> > > leider noch die alte Version. Hinzu kommt, dass f in 0
> > > stetig ist.
> > > Ansonsten stimmt aber alles.
> >
> > wirklich? Okay: Aber die Stetigkeit in [mm]0\,[/mm] werden wir gut
> > gebrauchen
> > können:
> > [mm](\*)[/mm] Weil [mm]f\,[/mm] stetig in [mm]0\,[/mm] ist, ist [mm]f\,[/mm] insbesondere
> auf
> > einer Umgebung
> > von [mm]0\,[/mm] stets echt [mm]> 0\,,[/mm] wobei man auch [mm]f(0)=1 > 0\,[/mm]
> >
> beachten sollte.
>
> Okay das ist mir denke ich mal klar. Da f stetig ist mit
> f(0)=1>0, verändern sich die Funktionswerte um die 0 nur
> geringfügig, wenn ich mein Argument änder. Also gibt es
> auch links
und rechts nahe
> von der 0, Funktionswerte die
dort stets(!)
> echt größer als
> die 0 sind.
Das stimmt alles, aber man kann es wirklich formal auch hinschreiben:
Sei [mm] $\varepsilon \in (0,\;f(0)]$ [/mm] (man beachte, dass das halboffene Intervall
[mm] $(0,\;f(0)]$ [/mm] wegen $f(0) > [mm] 0\,$ [/mm] nicht leer ist!), also hier [mm] $\varepsilon \in (0,\,1]\,.$ [/mm]
Du kannst auch [mm] $\varepsilon$ [/mm] spezieller wählen: Etwa [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] oder [mm] $\varepsilon=1/2\,.$ [/mm]
Nun folgere mal die Behauptung, die ich im blauen Teil formuliert habe!
> > Aber okay: Die Stetigkeit von obigem [mm]f\,[/mm] an der Stelle
> > [mm]x_0=0\,[/mm] ist nun
> > klar, weil sie ja laut Voraussetzung gilt. Sei nun [mm]x_0 \not=0\,.[/mm]
> > Seien
> > [mm]h_n \in \IR[/mm] mit [mm]h_n \to 0[/mm] und so, dass [mm]f(h_n) > 0[/mm] und
> > [mm]f(-h_n) > 0[/mm]
> > für alle [mm]n \in \IN\,.[/mm] (Letztgenanntes kann man o.E. wegen
> > [mm](\*)[/mm] (blaue
> > Bemerkung) fordern!)
>
> Bis hierhin verstehe ich noch alles
>
> > Zu zeigen ist nun, dass [mm]f(x_0+h_n) \to f(x_0)[/mm] bei [mm]n \to \infty[/mm]
> > gilt.
>
> Wir zeigen also, dass die Funktion egal an welchen Punkt
> wir ansätzen immer gegen die Funktionswerte konvergieren.
>
> > 1. Es gilt
> > [mm]f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)[/mm]
> > für jedes [mm]n \in \IN\,.[/mm]
>
> >
> > 2. Es gilt
> > [mm]f(x_0)=f(x_0+h_n-h_n) \le f(x_0+h_n)*f(-h_n)[/mm]
> > und
> wegen
> > [mm]f(-h_n) > 0[/mm] somit unter Einbezug von 1.:
> > [mm]\frac{f(x_0)}{f(-h_n)} \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)\,.[/mm]
>
> >
> > Bekommst Du nun den Rest alleine hin?
>
> Ich versuchs zumindestens mal ^^
>
> Also, setzen wir hier an:
>
> [mm]\frac{f(x_0)}{f(-h_n)} \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)[/mm]
>
> Wegen der Stetigkeit im 0 Punkt ist:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(-h_n)[/mm] = f(0) = 1, und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(h_n)[/mm] = f(0) = 1.
>
> Infolgedessen gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_0)}{f(-h_n)}= f(x_0)[/mm]
Ja, da gehen aber Grenzwertsätze ein: Ganz ausführlich
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_0)}{f(-h_n)}=f(x_0)*\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{f(-h_n)}=f(x_0)*\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}f(-h_n)}=\frac{1}{1}=1\,.$$
[/mm]
(In einer Prüfung konnte ich nun verlangen, dass Du mir jedes [mm] $=\,$ [/mm]
begründest; aber ich denke mal, dass Du das kannst, und es einfach nur
schnell hingeschrieben hast. Daran wird man ja auch ein wenig im Studium
gewöhnt!)
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0)*f(h_n)[/mm] =
Auch hier der kleine Einschub:
[mm] $$=f(x_0)*\lim_{n \to \infty}f(h_n)=$$
[/mm]
> [mm]f(x_0)*1=f(x_0)[/mm]
>
> Insgesamt gilt also nach (2) unter berücksichtigung von
> (1):
>
> [mm]f(x_0)\le f(x_0+h_n) \le f(x_0)[/mm]
Vorsicht, das, was Du schreibst, ist falsch - diese Ungleichung gilt
keineswegs für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Was gilt, ist:
[mm] $$f(x_0)=f(x_0)/1\stackrel{\infty \leftarrow n}{\longleftarrow}\;\;\;\;\; f(x_0)/f(-h_n) \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)*f(h_n)\;\;\;\;\; \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} f(x_0)*1=f(x_0)$$
[/mm]
> Nach dem Einschlusskriterium konvergiert also auch:
>
> [mm]f(x_0+h_n)[/mm] für jeden Punkt [mm]x_0[/mm] gegen [mm]f(x_0),[/mm] ganz konkret
> gilt also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0+h_n) =f(\limes_{n\rightarrow\infty} \red{(}x_0+h_n\red{)})[/mm]
Die von mir in Rot ergänzten Klammern kann man der Deutlichkeit wegen
setzen.
> = [mm]f(x_0)[/mm]
>
> Also ist f in jedem Punkt [mm]x_0[/mm] stetig, weil [mm]x_0[/mm] beliebig
> gewählt war.
>
>
> Okay, da die Exponentialfunktion alle Eigenschaften wie die
> allgemeine Funktion von oben hat, können wir den Beweis
> auf die e-Funktion übertragen.
> Da der Beweis darauf aufbaut, dass die Funktion im
> Nullpunkt stetig ist müssen wir dies noch für die
> e-Funktion zeigen.
Bis auf die Stelle, wo Du [mm] $f(x_0) \le f(x_0+h_n) \le f(x_0)$ [/mm] gefolgert hast
(ist Dir klar, dass das nicht geht?), war das:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das versuche ich dann allerdings morgen :)
> Ich glaube ich hab den Beweis sogar schonmal gesehen. Die
> Grundidee ist, dass [mm]|e^a_n[/mm] - 1| gegen 0 konvergiert.
Was immer auch die [mm] $a_n$ [/mm] dabei sind: Vermutlich soll [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gelten.
> Man muss das ganze also nur über die e-Reihe abschätzen,
> und zeigen dass es gegen 0 konvergiert.
Zumindest gibt es solch' eine Möglichkeit eines Beweises, die kenne ich
auch.
> Ich werde es morgen wie gesagt mal versuchen und mich dann
> ggf. melden.
Gerne.
Gruß,
Marcel
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