Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 04.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
| Aufgabe | Sei D die Menge [mm]D= (-1,1] \backslash\{0\}\subset R[/mm] und sei die Funktion [mm]f:D\rightarrow R[/mm] gegeben durch:
f(x)= [mm]\frac{1}{x}-1[/mm] für x>0 und [mm]\frac{1}{x}+1[/mm] für x<0.
Zeige, dass f stetig und bijektiv ist. |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Verständnisproblem bei der obigen Aufgabe.
So wie f definiert ist, würde ich eigentlich an der Stelle 0 auf Stetigkeit prüfen. Schließlich ist das doch die interessante Stelle, wo nicht direkt ersichtlich ist, ob f stetig ist. Oder sehe ich das falsch?
Da 0 aber nicht zum Definitionsbereich gehört macht es doch keinen Sinn, sich diese Stelle anzuschauen.
Normal würde ich jetzt das [mm]\epsilon-\delta[/mm] Kriterium nehmen und meinen inetressanten Punkt dort einsetzen. Da mein interessanter Punkt aber nicht im Definitionsbereich ist, weiß ich gerade nicht weiter.
Mein Problem ist im Prinzip: Wie zeige ich Stetigkeit bei einer Funktion, ohne dass ich einen konkreten Punkt habe.
Könnt ihr mir bitte auf die Sprünge helfen?
Gruß
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 04.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich wunderbar stetig. Dass sie sich an der Stelle $x=0$ nicht stetig fortsetzen lässt, ist egal. Der Witz an dieser Funktion ist, dass sie stetig und bijektiv ist, aber die Umkehrfunktion nicht stetig ist (Sonst wäre [mm] $(-1,1]\setminus\{0\}$ [/mm] homöomorph zu [mm] $\IR$, [/mm] d.h. [mm] $\IR$ [/mm] nicht zusammenhängend!).
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 04.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
> Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich
> wunderbar stetig.
Das habe ich auch nicht angezweifelt;)
> Dass sie sich an der Stelle [mm]x=0[/mm] nicht
> stetig fortsetzen lässt, ist egal.
Denn interessant ist der Definitionsbereich. Deswegen hatte ich geschrieben, dass es ja keinen Sinn macht bei x=0 auf Stetigkeit zu prüfen.
Aber noch mal mein Problem: Wie zeige ich jetzt, dass meine Funktion auf ihrem Definitionsbereich stetig ist?
Für das [mm]\epsilon-\delta[/mm] Kriterium bräuchte ich einen Punkt, dessen Umgebung ich mir anschaue. Ich kann aber doch schlecht alle Punkte überprüfen.
Angenommen die Funktion wäre stückweise definiert über x>0,5 und x<0,5. Dann würde ich an der Stelle 0,5 auf Stetigkeit prüfen, indem ich die Stelle z.B. mit dem [mm]\epsilon-\delta[/mm] Kriterium betrachte. Statt 0,5 habe ich aber x>0 bzw. x<0 und 0 ist nicht mal im Definitionsbereich.
Ich kann mir auch keine Urbildfolgen und die zugehörigen Bildfolgen anschauen, denn ich weiß nicht gegen welchen x-Wert meine Urbildfolgen konvergieren sollen.
Ich hoffe ich konnte mein Problem etwas verständlicher formulieren.
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Hallo bero2009,
Erstmal: Eine Funktion kann nur auf ihrem Definitionsbereich stetig sein. Da 0 nicht dazugehört, interessiert uns dort auch gar nicht die Stetigkeit der Funktion, da sie dort gar nicht definiert ist.
Es kommt darauf an, wie genau du jetzt das mit der Stetigkeit für deinen Beweis brauchst. An sich reicht es schon so, wie du gesagt hast: Dass die beiden Teilfunktionen stetig sind, und der "kritische Punkt", wo die beiden zusammenlaufen, gar nicht zu untersuchen ist, begründet eigentlich schon alles.
Die exaktere Variante wäre, nun die Definition zu benutzen. Meist bietet sich die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition nicht wirklich an. Habt ihr auch die Folgendefinition der Stetigkeit gehabt?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 04.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
> Es kommt darauf an, wie genau du jetzt das mit der
> Stetigkeit für deinen Beweis brauchst. An sich reicht es
> schon so, wie du gesagt hast: Dass die beiden
> Teilfunktionen stetig sind,
Kann ich einfach davon ausgehen, dass meine Teilfunktionen stetig sind?
> und der "kritische Punkt", wo
> die beiden zusammenlaufen, gar nicht zu untersuchen ist,
> begründet eigentlich schon alles.
>
> Die exaktere Variante wäre, nun die Definition zu
> benutzen. Meist bietet sich die [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] -
> Definition nicht wirklich an. Habt ihr auch die
> Folgendefinition der Stetigkeit gehabt?
>
Jo haben wir. Aber die eignet sich doch mehr, um zu zeigen, dass eine Funktion nicht stetig ist. Denn ich kann ja nicht alle Urbildfolgen, die gegen meinen kritischen Punkt konvergieren prüfen. Es sind ja unendlich viele.
Also wie kann ich die Folgendefinition dafür verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Benni,
du solltest schon verstehen, warum die beiden Teilfunktionen stetig sind. Dazu sehe ich zwei Möglichkeiten:
1. Falls du Regeln für Stetigkeit unter den Standardrechenoperationen kennst, kannst du sie hier anwenden (das ist dann der direktere Weg): Überlege, von welchen Teiltermen z.B. in [mm]f(x)=\bruch{1}{x}-1[/mm] (für x>0) du schon weißt, dass sie für stetige Funktionen stehen. Was folgt daraus für die Funktion, die durch Zusammensetzen dieser Teilterme zum gesamten Term entsteht?
2. Auch mit der Folgendefinition der Stetigkeit kannst du (auf ähnliche Weise) arbeiten: Sei z.B. [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von reellen Zahlen [mm]x_n>0[/mm] mit [mm]\limes_{n\rhightarrow\infty}x_n=x>0[/mm]. Was gilt dann nach den Rechenregeln für konvergente Folgen z.B. für die Folge [mm]\left(\bruch{1}{x_n}\right)_{n\in\IN}[/mm] und damit für die Folge [mm]\left(\bruch{1}{x_n}-1\right)_{n\in\IN}[/mm]?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 04.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Hallo Tobias,
> 1. Falls du Regeln für Stetigkeit unter den
> Standardrechenoperationen kennst, kannst du sie hier
> anwenden (das ist dann der direktere Weg): Überlege, von
> welchen Teiltermen z.B. in [mm]f(x)=\bruch{1}{x}-1[/mm] (für x>0)
> du schon weißt, dass sie für stetige Funktionen stehen.
> Was folgt daraus für die Funktion, die durch
> Zusammensetzen dieser Teilterme zum gesamten Term
> entsteht?
Meinst du sowas wie [mm]\frac{1}{x}[/mm] ist stetig. 1 ist die konstante Funktion und damit stetig. Und eine stetige Funktion minus eine stetige funktion ist wieder stetig?
> 2. Auch mit der Folgendefinition der Stetigkeit kannst du
> (auf ähnliche Weise) arbeiten: Sei z.B. [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm]
> eine Folge von reellen Zahlen [mm]x_n>0[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rhightarrow\infty}x_n=x>0[/mm]. Was gilt dann nach den
> Rechenregeln für konvergente Folgen z.B. für die Folge
> [mm]\left(\bruch{1}{x_n}\right)_{n\in\IN}[/mm] und damit für die
> Folge [mm]\left(\bruch{1}{x_n}-1\right)_{n\in\IN}[/mm]?
Über die Folgendefinition würde ich das lieber machen;)
Also Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von reellen Zahlen [mm]x_n>0[/mm] mit [mm]\limes_{n\rhightarrow\infty}x_n=x>0[/mm].
Da [mm]\lim_{n\to\infty}x_n \neq 0[/mm] gilt für [mm]\left(\bruch{1}{x_n}-1\right)_{n\in\IN}[/mm]:
[mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{x_n}-1\right) = \frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}x_n}-\lim_{n\to\infty}1=\frac{1}{x>0}-1[/mm] Oder nicht?
Aber wie bringt mich das bei der Folgendefinition weiter?
Meine Folge [mm]x_n[/mm] ist ja praktisch meine Urbildfolge bzw. alle Urbildfolgen, die gegen ein x > 0 konvergieren. Dann schau ich mir mit [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{x_n}-1\right) [/mm] die zugehörigen Bildfolgen an. Aber was kann ich aus dem Ergebnis [mm]\frac{1}{x>0}-1[/mm] sehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Meinst du sowas wie [mm]\frac{1}{x}[/mm] ist stetig. 1 ist die
> konstante Funktion und damit stetig. Und eine stetige
> Funktion minus eine stetige funktion ist wieder stetig?
Ja, genau so war das gemeint!
> Über die Folgendefinition würde ich das lieber machen;)
> Also Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge von reellen Zahlen
> [mm]x_n>0[/mm] mit [mm]\limes_{n\rhightarrow\infty}x_n=x>0[/mm].
> Da [mm]\lim_{n\to\infty}x_n \neq 0[/mm] gilt für
> [mm]\left(\bruch{1}{x_n}-1\right)_{n\in\IN}[/mm]:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{x_n}-1\right) = \frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}x_n}-\lim_{n\to\infty}1=\frac{1}{x>0}-1[/mm]
> Oder nicht?
>
> Aber wie bringt mich das bei der Folgendefinition weiter?
> Meine Folge [mm]x_n[/mm] ist ja praktisch meine Urbildfolge bzw.
> alle Urbildfolgen, die gegen ein x > 0 konvergieren. Dann
> schau ich mir mit
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{x_n}-1\right)[/mm] die
> zugehörigen Bildfolgen an. Aber was kann ich aus dem
> Ergebnis [mm]\frac{1}{x>0}-1[/mm] sehen?
(Im Nenner sollte einfach x stehen, nicht x>0.)
Die Folgendefinition von der Stetigkeit von f an einer Stelle x>0 lautet: Für alle Folgen [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm], die gegen x konvergieren, gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)[/mm]. Genau das hast du für eine beliebige solche Folge gezeigt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{x_n}-1\right)=\frac{1}{x}-1=f(x)[/mm].
Falls ich deine Frage nicht richtig verstanden habe, frag bitte nochmal nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 05.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Noch mal um sicher zu gehen, dass ich das richtig verstanden habe:
Es gilt [mm]\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{x_n}-1\right) = \frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}x_n}-\lim_{n\to\infty}1=\left(\frac{1}{x}-1\right)=f(x)[/mm]. Im Nenner steht nur ein x, weil ich vorher ja schon definiert habe, dass [mm]x_n[/mm] gegen ein x > 0 konvergiert.
Damit gilt dann, für jede beliebige Folge, die gegen ein x>0 konvergiert, dass ihre zugehörige Bildfolge gegen f(x) konvergiert.Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)[/mm] Damit ist f an der Stelle x>0 stetig.
Es fehlt noch vorher die Definition von [mm]x_n[/mm] aber das hatten wir ja schon.
So müsste es dann stimmen für x>0 richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Di 05.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, so ist es!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 05.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Weiter oben im Thread hatte schonmal jemand die Umkehrabbildung erwähnt. Dazu hätte ich noch eine kleine Frage.
Wenn ich [mm]f^{-1}(x)[/mm] bestimmen möchte - reicht es dann, wenn ich z.B. für x > 0 einfach [mm]y= \frac{1}{x}-1[/mm] nach x umstelle?
Dann hätte ich für x > 0 [mm]x= \frac{1}{y+1}[/mm]. Aber damit ist doch noch nicht sichergestellt, dass der Bildbereich der Umkehrabbildung auch noch in D, also (-1,1] liegt. Bei y=-0,8 wäre ich z.B. nicht mehr innerhalb von D. Wie krieg ich das hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 05.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Du hast das irgendwie vermurxt. Also erstmal ist richtig, dass für $x>0$ gilt [mm] $f(x)\ge [/mm] 0$ und für $x<0$ folgt $f(x)<0$. Zur Berechnung von [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] mit [mm] $y\in\IR$ [/mm] gibt es also zwei Fälle:
1. Fall: [mm]y\ge 0[/mm]. Dann muss nach obigem [mm] $f^{-1}(y)>0$ [/mm] sein. Nun hat man [mm] $$y=f(f^{-1}(y))=\frac{1}{f^{-1}(y)}-1\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{1}{1+y}\in(0,1]$$ [/mm] 2. Fall: den machst du selbst.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 05.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Zur
> Berechnung von [mm]f^{-1}(y)[/mm] mit [mm]y\in\IR[/mm] gibt es also zwei
> Fälle:
>
> 1. Fall: [mm]y\ge 0[/mm]. Dann muss nach obigem [mm]$f^{-1}(y)>0$[/mm] sein.
> Nun hat man [mm]y=f(f^{-1}(y))=\frac{1}{f^{-1}(y)}-1\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{1}{1+y}\in(0,1][/mm]
Analog:
2. Fall: [mm]y\leq 0[/mm]. Dann muss [mm]$f^{-1}(y)<0$[/mm] sein, denn für x < 0 gilt f(x)<0.
Es folgt: [mm]y=f(f^{-1}(y))=\frac{1}{f^{-1}(y)}+1\gdw y-1=\frac{1}{f^{-1}(y)}\gdw (y-1)\cdot f^{-1}(y)=1\gdw f^{-1}(y)=\frac{1}{y-1}\in (-1,0)[/mm]
So sollte es dann auch mit dem Intervall passen. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Di 05.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> 2. Fall: [mm]y\leq 0[/mm]. Dann muss [mm]$f^{-1}(y)<0$[/mm] sein, denn für x < 0 gilt f(x)<0.
Nein es muss heißen: "2.Fall [mm]y\red{<}0[/mm]. Dann muss [mm] $f^{-1}(y)<0$ [/mm] sein, denn für [mm] $f^{-1}(y)\ge [/mm] 0$ wäre [mm] $y=f(f^{-1}(y))\ge [/mm] 0$ - Widerspruch. Der Rest ist in Ordnung.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Di 05.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
> > 2. Fall: [mm]y\leq 0[/mm]. Dann muss [mm]$f^{-1}(y)<0$[/mm] sein, denn für
> x < 0 gilt f(x)<0.
> Nein es muss heißen: "2.Fall [mm]y\red{<}0[/mm]. Dann muss
> [mm]f^{-1}(y)<0[/mm] sein, denn für [mm]f^{-1}(y)\ge 0[/mm] wäre
> [mm]y=f(f^{-1}(y))\ge 0[/mm] - Widerspruch. Der Rest ist in
> Ordnung.
Oh ja, hast Recht. Da hab ich nicht aufgepasst. Danke für eure Hilfe!
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