Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 18.02.2008 | | Autor: | eva_sp |
Hallo, ich verzweifel noch! Wie genau zeige ich die Stetigkeit einer Funktion?? Ich sehe immer etwas mit [mm] \limes_{x\rightarrow\_x{0}}f(x) [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
damit kann ich aber absolut nix anfangen und in meinem Buch ist das auch nicht richtig erklärt. Kann mir bitte jemand helfen???
LG Eva
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mo 18.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst zeigen, dass du zu JEDEM [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] angeben kannst, so dass aus
[mm] |x-x_0|<\delta [/mm] folgt [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon.
[/mm]
Wenn du das als Aufgabe hast, müsst ihr doch Stetigkeit irgendwann besprochen haben? Sieh nach, wie ihr das genau definiert habt. Oder sieh ein Beispiel nach, das im Buch gerechnet wird. Frag nach, welche Stelle du nicht verstehst.
Gruss leduart
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> Hallo, ich verzweifel noch! Wie genau zeige ich die
> Stetigkeit einer Funktion?? Ich sehe immer etwas mit
> [mm] \limes_{x\rightarrow\_x_{0}}f(x) [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
>
Hallo,
Du schreibst sehr wenig über das "Drumherum" von [mm] \limes_{x\rightarrow\_x_{0}}f(x) =f(x_{0}).
[/mm]
Ich könnte mir vorstellen, daß Du eine abschnittweise definierte Funktion vorliegen hast.
Etwa so etwas:
[mm] f(x):=\begin{cases} f_1(x), & \mbox{für } x>x_0 \mbox{ } \\ c, & \mbox{für } x=x_0 \mbox{ } \\ f_2(x), & \mbox{für } x
Willst Du wissen, ob die Funktion f(x) stetig ist, mußt Du nachschauen, ob die "Einzelteile" an der Nahtstelle [mm] x_0 [/mm] zusammenpassen.
Du guckst, ob für [mm] x\to x_0 [/mm] rechter und linker Grenzwert der Funktion gleich dem Funktionswert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] sind.
Also:
1. Ist [mm] c=f(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ _{(-)}x_{0}}f(x)= \limes_{x\rightarrow x_{0}}f_2(x) [/mm] ?
2. Ist [mm] c=f(x_0)=\limes_{x\rightarrow\ _{(+)}x_{0}}f(x)= \limes_{x\rightarrow x_{0}}f_1(x) [/mm] ?
Beispiele
[mm] f(x):=\begin{cases}x^2+1, & \mbox{für } x>5 \mbox{ } \\ x+21, & \mbox{für } x\le 5 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Die Nahtstelle ist bei [mm] x_0=5.
[/mm]
Es ist [mm] \limes_{x\rightarrow\ _{(-)}5}f(x)= \limes_{x\rightarrow 5}(x+21)=26=f(5)
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow\ _{(+)}x_{0}}f(x)= \limes_{x\rightarrow 5}(x^2+1)=26=f(5),
[/mm]
also stetig in [mm] x_0=5.
[/mm]
Gruß v. Angela
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