Stetigkeit von f < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Die Funktion f(x)=x², x [mm] \in \IR [/mm] ,d.h dass f für alle [mm] x_{0} [/mm] in [mm] \IR [/mm] sei stetig.
Zeigen Sie, dass die Funktion stetig ist und zeigen sie dazu die Stetigkeit von f in einem beliebigen festen [mm] x_{0} \IR [/mm] |
Ich habe mir überlegt diese Definition zu benutzen:
Intervall I [mm] \subseteq \IR [/mm] f: -> [mm] \IR
[/mm]
a) f heißt in [mm] x_{0} \in [/mm] I stetig, falls [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = f(x) = [mm] f(x_{0})
[/mm]
(ist [mm] x_{0} \in [/mm] IRandpunkt, dann einseitige Grenzwert)
und
b) f heißt auf I stetig, falls f stetig ist [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
Nun weiß ich nicht wie ich die anwenden soll.
Bin um jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f(x)=x², x [mm]\in \IR[/mm] ,d.h dass f für alle
> [mm]x_{0}[/mm] in [mm]\IR[/mm] sei stetig.
> Zeigen Sie, dass die Funktion stetig ist und zeigen sie
> dazu die Stetigkeit von f in einem beliebigen festen [mm]x_{0} \IR[/mm]
>
> Ich habe mir überlegt diese Definition zu benutzen:
>
> Intervall I [mm]\subseteq \IR[/mm] f: -> [mm]\IR[/mm]
> a) f heißt in [mm]x_{0} \in[/mm] I stetig, falls
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm]
Unsinn.
Richtig: [mm]\limes_{x \to x_0}[/mm] f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm]
> (ist [mm]x_{0} \in[/mm] IRandpunkt, dann einseitige Grenzwert)
>
> und
> b) f heißt auf I stetig, falls f stetig ist [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> I
>
> Nun weiß ich nicht wie ich die anwenden soll.
Vielleich sollst Du das mir [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] machen ? Dann hilft Dir:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |x-x_0|*|x+x_0|$
[/mm]
FRED
> Bin um jede Hilfe dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
wär das als ansatz richtig? :/
|x²-x0²|=|x-x0|*|x+x0| = x² womit es bewiesen wär... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> wär das als ansatz richtig? :/
>
> |x²-x0²|=|x-x0|*|x+x0| = x² womit es bewiesen wär... :/
nein. Was steht da oben ?? Meinst Du [mm] x_0=0. [/mm] Wenn ja, so stehen oben Trivialitäten !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
es muss doch gezeigt werden, dass
|x²-xo|*|x+x0| [mm] <\varepsilon [/mm]
und dass |f(x)-(fx0)| [mm] <\delta
[/mm]
gilt... oder nicht...tut mir leid.. ich check gar nichts mehr
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Hallo Balsam,
> es muss doch gezeigt werden, dass
>
> |x²-xo|*|x+x0| [mm]<\varepsilon[/mm]
>
> und dass |f(x)-(fx0)| [mm]<\delta[/mm]
>
> gilt...
Das ist doch Unfug!
> oder nicht...tut mir leid.. ich check gar nichts
> mehr
Du musst die Definitionen richtig lernen, sonst geht gar nix!
Nimm dir bel. [mm]x_0\in\IR[/mm] vor.
Dann ist zu zeigen, dass es zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] gibt, so dass für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] gilt: [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm], also [mm]\left|x^2-x_0^2\right|<\varepsilon[/mm]
Die Umformung mit der 3.binomischen Formel ist schon ganz gut.
Du musst den Betrag [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] "geschickt" in einer Nebenrechnung abschätzen, um das gesuchte [mm]\delta[/mm] zu "konstruieren"
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
ich will dich ja echt nicht wütend machen oder so.. aber wie funktioniert denn dieses geschickte abschätzen, um delta zu konstruieren?
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Hallo nochmal,
> ich will dich ja echt nicht wütend machen oder so.. aber
> wie funktioniert denn dieses geschickte abschätzen, um
> delta zu konstruieren?
Nicht der kleineste Ansatz von dir?
Betrüblich ...
Tipps:
3.binomische Formel, "Nahrhafte Null" addieren: [mm]+x_0-x_0[/mm], Dreiecksungleichung ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
würde das dann so aussehen?
|x-x0|*|x+x0| < [mm] \delta [/mm] :/:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> würde das dann so aussehen?
>
> |x-x0|*|x+x0| < [mm]\delta[/mm] :/:/
Nein, aber das hatten wir doch vorhin schon. Du stocherst nur im Nebel. Und Du liest nicht, was man Dir schreibt:
https://matheraum.de/read?i=742681
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Da es nur auf x in der Nähe von [mm] x_0 [/mm] ankommt, kannst Du [mm] |x-x_0|<1 [/mm] annehmen. Dann ist für soch ein x auch
[mm] |x|-|x_0| [/mm] <1,
also [mm] |x|<|x_0|+1. [/mm] Dann folgt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|= |x-x_0|*|x+x_0| \le |x-x_0|(|x|+|x_0|) \le |x-x_0|(1+2|x_0|)$
[/mm]
Wie mußt Du nun [mm] \delta [/mm] wählen, dass aus [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] folgt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$ [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
[mm] \delta [/mm] müsste element der natürlichen zahlen sein :/ , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\delta[/mm] müsste element der natürlichen zahlen sein :/ ,
Quatsch !
Der Nebel wird immer dicker und das Stochern immer mehr .....
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|= |x-x_0|\cdot{}|x+x_0| \le |x-x_0|(|x|+|x_0|) \le |x-x_0|(1+2|x_0|) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $|x-x_0|< \bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|}$
[/mm]
Also: wie ist [mm] \delta [/mm] zu wählen ?
FRED
> oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
mein [mm] \delta [/mm] und mein [mm] \varepsilon [/mm] sind doch gleich oder nicht ?
dann könnte man doch die ungleichung nach [mm] \varepsilon [/mm] umformen oder
x+2|x0|*x-x0-2x²0 < [mm] \varepsilon(=\delta)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> mein [mm]\delta[/mm] und mein [mm]\varepsilon[/mm] sind doch gleich oder
> nicht ?
Unfug !
>
> dann könnte man doch die ungleichung nach [mm]\varepsilon[/mm]
> umformen oder
>
> x+2|x0|*x-x0-2x²0 < [mm]\varepsilon(=\delta)[/mm]
Unfug !
Ich gebe auf ! Vielleicht will mich der Fragesteller auch auf den Arm nehmen ?
Hat jemand sonst Lust auf die noch kommenden Fragen zu antworten ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
nein bitte gib mich nicht auf .. :( ..
ich versteh das einfach nicht.. was soll ich denn machen.. ich halt ja schon ausschau nach einer nachhilfe, dann werde ich euch nicht mehr zu weißglut treiben :( ... wie bestimme ich denn [mm] \delta, [/mm] muss ich schätzen oder wie ? .. wir haben so etwas ja nie gemacht.. beispielaufgaben findet man auch nie.. was soll ich denn machen....
ich will dich wirklich nicht auf den arm nehmen.. ich will es lediglich verstehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Also gut.
Wir hatten:
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|\le |x-x_0|(1+2|x_0|) [/mm] $
stell Dir mal vor es wäre [mm] |x-x_0|(1+2|x_0|)< \varepsilon
[/mm]
Dann ist doch erst recht
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$
[/mm]
Nun ist aber [mm] |x-x_0|(1+2|x_0|)< \varepsilon \gdw [/mm] $ [mm] |x-x_0|< \bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|} [/mm] $
Also wähle [mm] $\delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{1+2|x_0|} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Balsam |
danke für deine bemühungen, aber ich weiss immer noch nicht was gefordert ist.. tut mir leid.. dann habe ich wohl pech gehabt..
trotzdem vielen vielen dank .. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Balsam,
jetzt darfst du aber nicht aufgeben. Mathe ist schwer, da muss man dranbleiben. Ich versuch nochmal zu erklären worum es geht:
Das [mm] \epsilon-\delta [/mm] Kriterium besagt, dass eine Fkt. stetig in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] heisst, wenn es zu jeder Zahl [mm] \epsilon, [/mm] die man fest vorgibt, eine weitere Zahl [mm] \delta [/mm] gibt, so dass wenn [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] ist, dann [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] gilt. Dabei muss [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] jeweils >0 sein.
Das war nur Wiederholung, das hatten die andern ja schon gesagt. Dazu mal ein Beispiel zur Verdeutlichung:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] und es soll Stetigkeit im Punkt [mm] x_0=1 [/mm] geprüft werden und das vorgegebene [mm] \epsilon [/mm] sei [mm] \epsilon=8
[/mm]
Gesucht ist nun ein [mm] \delta, [/mm] so dass wenn [mm] |x-1|<\delta [/mm] (was die äquivalente Schreibweise hat: [mm] \delta
dann |f(x)-f(1)|<8 ist.
Nun gilt in diesem speziellen Fall:
[mm] |f(x)-f(1)|=|x^2-1|<8 \gdw [/mm] (heisst: ist äquivalent zu) -3<x<3, (warum kriegst du vielleicht selbst raus?)
was für x-1 heisst -4<x-1<2
Wenn man das in die kurze Betragsschreibweise bringen möchte, schränkt man das noch etwas weiter ein, indem man die linke Grenze verschärft zu:
-2<x-1<2 (Das ist ok, denn wenn diese Gleichung gilt, gilt mit Sicherheit auch die davor.)
und man erhält |x-1|<2,also setzt man [mm] \delta=2.
[/mm]
Das [mm] \delta [/mm] muss übrigens nicht unbedingt 2 sein, es geht auch mit [mm] \delta=1. [/mm] Denn wenn |x-1|<1 gilt mit Sicherheit immer noch -3<x<3. Aber irgendein [mm] \delta [/mm] genügt ja.
Im Allgemeinen ist es so, dass dieses [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] und von [mm] \epsilon [/mm] abhängt. Und deine Aufgabe ist es nun, ein allgemeines [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_0 [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] zu finden, dass die Ungleichung erfüllt. Dazu brauch man aber ein paar Tricks, von denen Schauzipus ja gesprochen hat. Ich machs dir mal vor:
Sei also [mm] \epsilon>0 [/mm] vorgegeben:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0| [/mm] 3.bin.Formel
[mm] =|x-x_0||x-x_0+x_0+x_0| [/mm] "Null" addieren [mm] "0=x_0-x_0" [/mm] verändert die Gleichung nicht
[mm] \le|x-x_0|(|x-x_0|+|x_0+x_0|) [/mm] Dreiecksungleichung(die musst du kennen, ein wichtiges Werkzeug)
[mm] =|x-x_0|(|x-x_0|+2|x_0|) [/mm] (das soll [mm] <\epsilon [/mm] sein)
Um jetzt rauszufinden,welche Bedingung [mm] |x-x_0| [/mm] erfüllen muss, damit die Ungleichung gilt löst man nach [mm] |x-x_0| [/mm] auf, um Schreibarbeit zu sparen, setzt ich [mm] |x-x_0|=d
[/mm]
[mm] d(d+2|x_0|)<\epsilon
[/mm]
und diese Unlgeichung löst du nach d auf, dann erhälst (p-q-Formel für quadr Gleichungen) du
[mm] -|x_0|-\wurzel{|x_0|^2+\epsilon}
[mm] 0
Also habe ich [mm] |x-x_0|<-|x_0|+\wurzel{|x_0|^2+\epsilon} [/mm] und den rechne Teil nenne ich [mm] \delta.
[/mm]
Und solltest du hier [mm] |x-x_0|(|x-x_0|+2|x_0|) [/mm] mal die Probe machen und die Bedingung [mm] |x-x_0|<-|x_0|+\wurzel{|x_0|^2+\epsilon} [/mm] für [mm] |x-x_0| [/mm] einsetzten, wirst du die Ungleichung [mm] |x-x_0|(|x-x_0|+2|x_0|)<\epsilon [/mm] erhalten.
Und wenn du mal [mm] x_0=1 [/mm] und [mm] \epsilon=8 [/mm] vom Anfangsbsp. einsetzt kommst du auch auf [mm] \delta=2
[/mm]
So, ich muss weg, ich hoffe, das hat es etwas klarer gemacht.
LG walde
Edit: Vorzeichenfehler behoben, Bsp ergänzt
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