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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit in ihrem maximalen Definitionsbereich:
f(x) = [mm] \bruch{|1+x|}{|1-x|} [/mm] |
Wir haben Stetigkeit formal immer mit der Epsilon-Delta-Methode bewiesen. In den Übungsaufgaben ging das auch immer schön auf, hier bleib ich leider hängen. :(
Mein bisheriger Ansatz:
D = [mm] \IR \backslash \{ 1 \}
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Wähle [mm] \partial [/mm] = ... (kommt dann später)
Sei x [mm] \in B_{ \partial}(p) \cap [/mm] D [mm] \gdw [/mm] |x-p| < [mm] \partial [/mm] .
Dann ist
|f(x) - f(p)|
= | [mm] \bruch{|1+x|}{|1-x|} [/mm] - [mm] \bruch{|1+p|}{|1-p|} [/mm] |
= | | [mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] | - | [mm] \bruch{1+p}{1-p} [/mm] | |
[mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{1+p}{1-p} [/mm] |
= | [mm] \bruch{(1+x)(1-p) - (1+p)(1-x)}{(1-x)(1-p)} [/mm] |
= | [mm] \bruch{2 (x-p)}{(1-x)(1-p)} [/mm] |
Jetzt hab ich zwar das x-p , zu dem ich hinwill, aber wie bekomme ich den Rest drumherum weg? Darf ich zB einfach den Term unter dem Bruchstrich weglassen und somit das ganze wieder größer machen?
Über einen Denkanstoß würde ich mich freuen. :)
Liebe Grüße,
Dominik
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dominik,
bei Beträgen sind immer die Stellen kritisch, wo der Term zwischen den Betragsstrichen Null wird, hier also bei +1 und bei -1.
An allen anderen Stellen passiert, was die Stetigkeit angeht, garantiert nichts besonderes (was Du allerdings noch begründen musst).
Bei x=-1 wird der Zähler Null, im Nenner geht es linear weiter. Da wird die Funktion unstetig sein, weil sie einen "Knick" hat.
Bei x=1 wird der Nenner Null, stetige Ergänzung ist nicht möglich, es wird also ein Pol vorliegen. Bevor Du rechnest, denk mal drüber nach, ob es sich wohl um einen geraden oder einen ungeraden Pol handelt.
Ansonsten musst Du dich beiden Stellen von links und von rechts nähern, so ist das bei Beträgen...
Also insgesamt vier Grenzwertbetrachtungen.
Trotzdem gibt es nur drei Bereiche, für die Du Deine Funktion vollständig von Betragsstrichen befreien musst:
1) $ x<-1 $
2) $ [mm] -1\le [/mm] x<1 $
3) $ [mm] 1\le [/mm] x $
Die Gleichheitsstriche kannst Du auch anders anordnen. Es gibt vier Möglichkeiten. Das Ergebnis wird aber immer das gleiche sein.
Grüße
reverend
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Hallo reverend!
Komme an der einen Stelle wieder nicht weiter. Bisher hab ich:
f(x) = [mm] \bruch{|1+x|}{|1-x|}
[/mm]
D = [mm] \IR \backslash \{ 1 \}
[/mm]
Fallunterscheidung:
1) x < -1: f(x) = - [mm] \bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
2) -1 [mm] \le [/mm] x < 1: f(x) = [mm] \bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
3) 1 [mm] \le [/mm] x: f(x) = - [mm] \bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
Vermutung: f ist stetig in D und unstetig in x=1
Beweis: Zu betrachten sind die Werte x=1 und x=-1, da hier die Beträge 0 werden können.
An allen anderen Werten des Definitionsbereiches verhält sich die Funktion wie eine gebrochenrationale Funktion und ist somit nach Vorlesung stetig.
Untersuchung der Stetigkeit in x=-1.
[mm] \limes_{x\rightarrow -1^-} \bruch{|1+x|}{|1-x|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow -1^-} [/mm] - [mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] = 0 = f(-1)
[mm] \limes_{x\rightarrow -1^+} \bruch{|1+x|}{|1-x|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow -1^+} \bruch{1+x}{1-x} [/mm] = 0 = f(-1)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist stetig in x=-1, denn [mm] \limes_{x\rightarrow -1} [/mm] f(x) = f(-1).
Untersuchung der Stetigkeit in x=1:
Und hier hänge ich wieder.. ich bekomme es einfach nicht umgeformt. Es handelt sich um eine gerade Polstelle, also ohne Vorzeichenwechsel. Aber was hilft mir das hier? :(
[mm] \limes_{x\rightarrow 1^-} \bruch{|1+x|}{|1-x|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-} \bruch{1+x}{1-x} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 1^+} \bruch{|1+x|}{|1-x|} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1^+} [/mm] - [mm] \bruch{1+x}{1-x} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Glaube ich stehe echt voll auf dem Schlauch. :(
Liebe Grüße,
Dominik
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dominik!
Wenn [mm] $x_0 [/mm] \ = \ +1$ gar nicht im Definitionsbereich enthalten ist, kann die Funktion auch dort erst recht nicht stetig sein! Weitere Berechnungen für diese Stelle sind also unnütz.
Ansonsten stimmen Deine Berechnungen für $x \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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Hm, ja das klingt einleuchtend. Aber warum hat dann reverend gesagt, ich müsse 4 Grenzwertuntersuchungen machen? :)
LG,
Dominik
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Hallo nochmal,
> Hm, ja das klingt einleuchtend. Aber warum hat dann
> reverend gesagt, ich müsse 4 Grenzwertuntersuchungen
> machen? :)
Loddar hat schon Recht. Aber je nach Aufgabensteller bekommst Du trotzdem nicht die volle Punktzahl, wenn Du nicht "gesehen" hast, dass die Funktion stetig ergänzbar ist und damit ggf. der Definitionsbereich um den bisher kritischen Wert ergänzt werden kann (dem man dann einen Funktionswert zuordnen muss, z.B. indem die Funktion entsprechend umgestaltet wird, wie bei [mm] f(x)=\tfrac{x*x}{x}, [/mm] wo x=0 nicht im Def.bereich liegt, aber andererseits... You know what I mean...
Im vorliegenden Fall allerdings ergibt die Untersuchung den zu erwartenden geraden Pol. Keine stetige Ergänzung möglich.
Bei [mm] f(x)=\bruch{|x^2-1|}{|1-x|} [/mm] wäre das anders gewesen. Und weil man das eben nicht immer sofort sieht, empfiehlt sich doch sicherheitshalber eine Grenzwertbetrachtung auf dem Schmierpapier. Wenn die eine Seite einen endlichen Grenzwert hat, sollte man sich auch die andere noch angucken. Wenn nicht, ist ja sowieso keine stetige Ergänzung möglich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Dominik.be |
Ok, dann hab ichs. :) Vielen Vielen Dank euch!
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