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Forum "Funktionen" - Stetigkeit und Diff'barkeit
Stetigkeit und Diff'barkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit und Diff'barkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mo 15.02.2010
Autor: fagottator

Aufgabe
Untersuche die folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:

b) g: [mm] \IR \to \IR [/mm] , g(x) = [mm] \begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } |x| \le 1 \\ ln(|x|), & \mbox{für } |x| > 1 \end{cases} [/mm]

Stetigkeit:

[mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} x^2-1 [/mm] = 1-1 = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} [/mm] g(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] ln(|x|) = 1-1 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] g stetig in x=1

Diff'barkeit:

[mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{x^2-1-1+1}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} \bruch{(x-1)(x+1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^+} [/mm] x+1 = 2
[mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{ln(|x|)-ln(|1|)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{ln(|1|)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1^-} \bruch{1/x}{1} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht diff'bar in x=1
        
Bezug
Stetigkeit und Diff'barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mo 15.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo fagottator,

> Untersuche die folgende Funktionen auf Stetigkeit und
> Differenzierbarkeit:
>  
> b) g: [mm]\IR \to \IR[/mm] , g(x) = [mm]\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } |x| \le 1 \\ ln(|x|), & \mbox{für } |x| > 1 \end{cases}[/mm]
>  
> Stetigkeit:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+} x^2-1[/mm] = 1-1 = 0 [ok]
>  [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}[/mm] g(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+}[/mm] ln(|x|) = 1-1 = 0 [ok]
>  [mm]\Rightarrow[/mm] g stetig in x=1 [ok]

Achtung mit den Richtungen [mm] $x\to [/mm] 1^+$ und [mm] $x\to [/mm] 1^-$

Die hast du hier und unten verdreht!

>  
> Diff'barkeit:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm]

Was genau ist $f$?

> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+} \bruch{x^2-1-1+1}{x-1}[/mm]

Das ist doch der linksseitige Limes, also [mm] $x\to [/mm] 1^-$

> =  [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+} \bruch{(x-1)(x+1)}{x-1}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^+}[/mm] x+1 = 2 [ok]

>  [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-} \bruch{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-} \bruch{ln(|x|)-ln(|1|)}{x-1}[/mm]

hier entsprechend rechtsseitig [mm] $x\to [/mm] 1^+$

> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-} \bruch{ln(|\red{x}|)}{x-1}[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-} \bruch{1/x}{1}[/mm] = 1

Da hast du dich einmal verschrieben, und du solltest unbedingt angeben, was du gerechnet hast, dass du also die Regel von de l'Hôpital benutzt hast!

>  [mm]\Rightarrow[/mm] f ist nicht diff'bar in x=1 [ok]


Jo, gut!

Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Stetigkeit und Diff'barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Mo 15.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

ich Depp habe übersehen, dass in der Funktionsdefinition ja [mm] $|x|\le [/mm] 1$ bzw. $|x|>1$ steht.

Da musst du neben der Stelle $x=1$ auch noch die beidseitigen GWe an der Stelle $x=-1$ untersuchen ...

Gruß

schachuzipus
Bezug
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