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| Aufgabe | a) [mm] f(x)=x^{2}*sin(\bruch{1}{x)}) [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] bzw.
f(x)=0 für x=0
an der Stelle a= 0 auf Stetigkeit überprüfen
[mm] b)f(x)=x*sin(\bruch{1}{x)}) [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] bzw.
f(x)=0 für x=0
ebenfalls bei a=0 auf Stetigkeit prüfen
[mm] c)f(x)=sin(\bruch{1}{x)}) [/mm]
zu zeigen: f ist an der Stelle x=0 nicht stetig fortsetzbar |
Hallo,
hab einige Problem mit dieser Aufgabe. Wenn ich mit der Definition von Stetigkeit arbeite (also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = f(a) ) dann hab ich das Problem, dass 0 im Nenner steht. Was mach ich da?
Wäre nett wenn mir jemand nen Tipp geben könnte. Danke schon mal im Voraus.
MfG, KommissarLachs
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Hi, KommissarLachs,
> a) [mm]f(x)=x^{2}*sin(\bruch{1}{x)})[/mm] für [mm]x\not=0[/mm] bzw.
> f(x)=0 für x=0
> an der Stelle a= 0 auf Stetigkeit überprüfen
> [mm]b)f(x)=x*sin(\bruch{1}{x)})[/mm] für [mm]x\not=0[/mm] bzw.
> f(x)=0 für x=0
> ebenfalls bei a=0 auf Stetigkeit prüfen
> [mm]c)f(x)=sin(\bruch{1}{x)})[/mm]
> zu zeigen: f ist an der Stelle x=0 nicht stetig
> fortsetzbar
>
> hab einige Problem mit dieser Aufgabe. Wenn ich mit der
> Definition von Stetigkeit arbeite (also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = f(a) ) dann hab ich
> das Problem, dass 0 im Nenner steht. Was mach ich da?
Zwar existiert der Grenzwert für [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 nicht (Divergenz; daher ist die 3. Funktion auch nicht stetig ergänzbar),
es gilt aber wenigstens:
-1 [mm] \le sin(\bruch{1}{x}) \le [/mm] 1
Demnach ist der Term beschränkt.
Und da [mm] x^{2} \to [/mm] 0 geht für x [mm] \to [/mm] 0 (1. Beispiel), geht auch f(x) [mm] \to [/mm] 0; daher stetig.
Analog das 2. Beispiel.
(Vermute übrigens, dass die Aufgabe noch weitergeführt wird. Zumindest die erste Funktion kenn' ich nämlich als typisches Beispiel einer Funktion, die an einer Stelle differenzierbar, aber nicht STETIG differenzierbar ist!)
mfG!
Zwerglein
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Danke dir. Bei Differenzierbarkeit sind wir zwar noch nicht, aber das wird wohl bald losgehen.
MfG, KommissarLachs
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Kann man das eigentlich nach einem Satz so machen, oder ist das einfach so?
MfG, KommissarLachs
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Hi, Kommissar,
> Kann man das eigentlich nach einem Satz so machen, oder ist
> das einfach so?
Den zugehörigen Satz findest Du z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)
Ist |f(x)| [mm] \le [/mm] |g(x)| und ist [mm] \limes_{x\rightarrow p} [/mm] g(x) = 0, so ist auch [mm] \limes_{x\rightarrow p} [/mm] f(x) = 0.
Der Satz wird im Bereich der Schule aber eher selten gebraucht!
mfG!
Zwerglein
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