Stetigkeit mit 2 Variablen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
für welche a [mm] \IN \IR [/mm] ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x^a sin(\frac{1}{x}), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
auf [mm] \IR_{+} [/mm] stetig.
Mein Versuch:
1. Fall: Sei x [mm] \not= [/mm] 0 und a > 0.
Behauptung: Dann ist f auf ganz [mm] \IR_{+}\{0} [/mm] stetig.
Beweis: f lässt sich als Komposition stetiger Funktionen schreiben. [mm] \frac{1}{x} [/mm] kann man als Quotient stetiger Funktionen schreiben. Daraus folgt die Stetigkeit.
2. Fall: Sei x = 0 und a > 0
Behauptung: f ist bei x = 0 stetig.
Beweis: Wegen der Abschätzung 0 [mm] \le x^a sin(\frac{1}{x}) \le x^a [/mm] gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^a sin(\frac{1}{x}) [/mm] = 0 = f(0) = 0. Damit ist f in x = 0 stetig. (Hinweis: [mm] x^a [/mm] mit a > 0 geht gegen 0 - das stimmt doch - oder?)
3. Fall: Sei x = 0 und a = 0
Hinweis: Dann wird ja [mm] x^a [/mm] = 1 - aber bringt mich das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 26.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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