Stetigkeit /kompakte Menge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr...Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe die Aufgabe, zu zeigen, dass in kompakten Räumen aus der Stetigkeit, die gleichmäßige Stetigkeit folgt.
Ich habe irgendwie null Plan wie ich es machen soll.
Ich kenne die Definitionen von Stetigkeit und auch von gleichmäßiger Stetigkeit in metrischen Räumen..Aber mir fehlt irgendwie der Ansatz,wie jetzt aufgrund der Kompaktkeit aus Stetigkeit , gleichmäßige Stetigkeit folgt.
Kann mir jemand helfen?Ich würde gerne einen Aufgabenansatz posten....Aber: mein einziger Ansatz bisher war es, die Bedingungen auszuschreiben(also die Definitionen von Stetgkeit und glm.Stetigkeit.
Vielen Dank im Voraus!
Lg Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> Hallo ihr...Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
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> Ich habe die Aufgabe, zu zeigen, dass in kompakten Räumen
> aus der Stetigkeit, die gleichmäßige Stetigkeit folgt.
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> Ich habe irgendwie null Plan wie ich es machen soll.
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> Ich kenne die Definitionen von Stetigkeit und auch von
> gleichmäßiger Stetigkeit in metrischen Räumen..Aber mir
> fehlt irgendwie der Ansatz,wie jetzt aufgrund der
> Kompaktkeit aus Stetigkeit , gleichmäßige Stetigkeit folgt.
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> Kann mir jemand helfen?Ich würde gerne einen Aufgabenansatz
> posten....Aber: mein einziger Ansatz bisher war es, die
> Bedingungen auszuschreiben(also die Definitionen von
> Stetgkeit und glm.Stetigkeit.
Sei also $f : X [mm] \to [/mm] Y$ stetig und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. (Ein Standard-Stetigkeits-Beweisanfang  )
Da $f$ stetig ist gibt es zu jedem $x [mm] \in [/mm] X$ ein [mm] $\delta(x) [/mm] > 0$ so, dass aus $d(x, y) < [mm] \delta$ [/mm] folgt $d(f(x), f(y)) < [mm] \varepsilon/2$.
[/mm]
Nun ist $X = [mm] \bigcup_{x \in X} B_{\delta(x)/2}(x)$ [/mm] eine offene Ueberdeckung von $X$. Also gibt es endlich viele [mm] $x_1, \dots, x_n \in [/mm] X$ mit $X = [mm] \bigcup_{i=1}^n B_{\delta(x_i)/2}(x_i)$.
[/mm]
Setze [mm] $\delta [/mm] := [mm] \frac{1}{2} \min\{ \delta(x_1), \dots, \delta(x_n) \} [/mm] > 0$.
Sind nun $x, y [mm] \in [/mm] X$ mit $d(x, y) < [mm] \delta$, [/mm] so gibt es ein $i [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] mit $d(x, [mm] x_i), [/mm] d(y, [mm] y_i) [/mm] < [mm] \delta(x_i)$ [/mm] (warum?). Und weiterhin gilt $d(f(x), f(y)) [mm] \le \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon$ [/mm] (warum?).
So, die Luecken musst du noch selber ausfuellen 
LG Felix
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qoute: Sind nun $ d(x, y) < [mm] \delta [/mm] $ mit , so gibt es ein
$ i [mm] \in \{ 1, \dots, n \} [/mm] $ mit $ d(x, [mm] x_i), [/mm] d(y, [mm] y_i) [/mm] < [mm] \delta(x_i) [/mm] $(warum?). Und weiterhin gilt $ d(f(x), f(y)) [mm] \le \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] $ (warum?).
So, die Luecken musst du noch selber ausfuellen
LG Felix "
Erstma vielen Dank für deine Hilfe. Soweit verstanden.
also das erste "warum?" ist klar. Die xi's liegen in X, das x auch. Da [mm] \delta [/mm] := [mm] \frac{1}{2} \min\{ \delta(x_1), \dots, \delta(x_n) \} [/mm] > 0 $ muss also d(x,xi)< [mm] delta(x_i) [/mm] sein.
Beim 2. bin ich mir nicht ganz sicher...Also es ist natürlich auf jeden Fall wegen der Dreieicksungleichung. Nur ich weiß nicht genau, welchen Term ich einfügen muss...Da hab ich grad noch so mein Problem.
Eine Frage noch zum Anfang..Warum sagst du bei der Definition für die Stetigkeit, dass delta(x) >0 existieren muss und nicht einfach nur delta?Ich kenne es nur mit delta.Oder willst du darauf aufmerksammachen, von was es noch abhängt?
Lg Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 So 21.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> qoute: Sind nun [mm]d(x, y) < \delta[/mm] mit , so gibt es ein
> [mm]i \in \{ 1, \dots, n \}[/mm] mit [mm]d(x, x_i), d(y, y_i) < \delta(x_i) [/mm](warum?).
> Und weiterhin gilt [mm]d(f(x), f(y)) \le \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon[/mm]
> (warum?).
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> So, die Luecken musst du noch selber ausfuellen
>
> LG Felix "
>
> Erstma vielen Dank für deine Hilfe. Soweit verstanden.
>
> also das erste "warum?" ist klar. Die xi's liegen in X, das
> x auch. Da [mm]\delta[/mm] := [mm]\frac{1}{2} \min\{ \delta(x_1), \dots, \delta(x_n) \}[/mm]
> > 0 $ muss also d(x,xi)< [mm]delta(x_i)[/mm] sein.
Vorsicht, du musst erst noch zeigen dass es ein [mm] $x_i$ [/mm] gibt was sowohl fuer $x$ als auch fuer $y$ die Bedingung erfuellt!
> Beim 2. bin ich mir nicht ganz sicher...Also es ist
> natürlich auf jeden Fall wegen der Dreieicksungleichung.
Genau.
> Nur ich weiß nicht genau, welchen Term ich einfügen
> muss...Da hab ich grad noch so mein Problem.
Du musst das so aufspalten dass du zwei Ausdruecke da stehen hast, die [mm] $\le \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] sind. Da gibts nicht viel zur Auswahl :)
> Eine Frage noch zum Anfang..Warum sagst du bei der
> Definition für die Stetigkeit, dass delta(x) >0 existieren
> muss und nicht einfach nur delta?Ich kenne es nur mit
> delta.Oder willst du darauf aufmerksammachen, von was es
> noch abhängt?
Genau, ich wollte drauf aufmerksam machen wovon es abhaengt. Und es dann gleich weiterbenutzen koennen, wenn ich ein beliebiges $x$ aus $X$ nehme, um nicht extra schreiben zu muessen ``sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ passend wie oben zu $x$'', sondern halt einfach [mm] $\delta(x)$ [/mm]
LG Felix
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