Stetigkeit im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR.
[/mm]
Bestimmen sie alle Punkte, an denen f stetig ist.
a)
[mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ =(0,0)} \\ sin(xy)/(x^2+y^2), & \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] |
Hallo,
wir haben gestern erst mit Analysis im [mm] R^n [/mm] angefangen.
Ich weiß auch, worauf die Aufgabe hinaus will, aber ich komme nicht wirklich weiter.
Ich habe bis jetzt:
für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) ist f stetig, da eine Komposition aus stetigen Funktionen.
Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich weiter machen soll.
Muss ich das abschätzen? Eine Folge finden, sodass das nicht Stetig ist?...Mich verwirrt hauptsächlich der Sinus, denn ohne eine trig. Funktion habe ich schon ein paar Beispiele gesehen, da konnte man aber recht leicht eine Folge finden, sodass die Funktion nicht stetig war.
Edit: Mir ist in der Zwischenzeit noch eingefallen (ich weiß absolut nicht, ob das so geht):
Schätze [mm] \bruch{sin(xy)}{x^2+y^2} [/mm] wie folgt ab:
[mm] \bruch{sin(xy)}{x^2+y^2} \le \bruch{|xy|}{x^2+y^2} \le
[/mm]
[mm] \bruch{|x|*|y|}{x^2+y^2} \le \bruch{max^2(|x|,|y|)*min(|x|,|y|}{x^2+y^2} \le
[/mm]
[mm] \bruch{max^2(|x|,|y|)*min(|x|,|y|}{min(x^2,y^2)} \le
[/mm]
[mm] max^2(|x|,|y|) \to [/mm] 0 (für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0))
Also f(x,y) [mm] \to [/mm] 0 = f(0,0) (für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0))
Damit ist f überall stetig.
Stimmt das?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo,
> Sei [mm]f:\IR^2 \to \IR.[/mm]
> Bestimmen sie alle Punkte, an denen f
> stetig ist.
> a)
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ =(0,0)} \\ sin(xy)/(x^2+y^2), & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
> wir haben gestern erst mit Analysis im [mm]R^n[/mm] angefangen.
> Ich weiß auch, worauf die Aufgabe hinaus will, aber ich
> komme nicht wirklich weiter.
> Ich habe bis jetzt:
> für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) ist f stetig, da eine Komposition
> aus stetigen Funktionen.
>
> Jetzt weiß ich leider nicht, wie ich weiter machen soll.
> Muss ich das abschätzen? Eine Folge finden, sodass das
> nicht Stetig ist?...Mich verwirrt hauptsächlich der Sinus,
> denn ohne eine trig. Funktion habe ich schon ein paar
> Beispiele gesehen, da konnte man aber recht leicht eine
> Folge finden, sodass die Funktion nicht stetig war.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten hier an die Sache heranzugehen.
Zum einen kannst du Folgen finden, die dich dann zum Ziel bringen. Denk mal an 1/n.
Zum anderen, kannst du auch mal x=y setzen und den Grenzwert [mm] x\to0 [/mm] betrachten.
>
> Danke für eure Hilfe!
>
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Siehe Edit im ersten Beitrag.
Edit: Ok, das ist wohl falsch, ich kann ja nicht einfach
[mm] min(x^2,y^2) [/mm] und min(|x|,|y|) kürzen.
Allerdings wenn ich es umschreibe:
[mm] \bruch{max^2(|x|,|y|)*min(|x|,|y|)}{max(x^2,y^2)} \le
[/mm]
min(|x|,|y|) [mm] \to [/mm] 0 für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0),
da [mm] max^2(|x|,|y|) [/mm] = [mm] max(x^2,y^2), [/mm] oder?
An 1/n habe ich auch schon gedacht. Aber wäre z.b.
f(1/n,1/n) nicht das selbe wie x=y?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 16.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit sin(x,y)<|x,y| bzw 1/2xy<<sin(xy)<xy xy>0 in einer Umgebung von 0 Und x=rcost, y=rsint u
kurzt sich [mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
damit hast du in jeder Umgebung von r= 0 verschieden Werte sint*cost
.
Gruss leduart
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Ich verstehe dein Deutsch leider nicht richtig.
Meine Interpretation:
Mit sin(xy) [mm] \le [/mm] |xy| ???? hast du den Grenzwert für t [mm] \to [/mm] 0
für sin(t) * cos(t).
Was bringt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 17.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht, ich habe es editiert! lies bitte nochmal.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
kleiner Tippfehler (mit großer Wirkung) . Du meinst sicher $ [mm] r\to [/mm] 0 $
Gruß Sax
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Also ich habe jetzt folgendes:
Sei x=y.
Dann: [mm] \bruch{sin(x^2)}{2x^2} \le \bruch{x^2}{2x^2}=1/2 [/mm] für (x,y) \ to (0,0).
und betrachte f(x,1/n):
[mm] \bruch{sin(x*1/n)}{x^2+1/n^2} [/mm] = 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Also ist f nicht stetig in (0,0).
Passt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Do 17.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn etwas kleiner als 1/2 ist kann es auch 0 sein, also so geht es nicht, du must wenn dann nach oben und unten abschätzen,
Gruß leduart
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