Stetigkeit im 0 Punkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Die Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{aus R/Q} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{aus Q} \end{cases}
[/mm]
ist im 0 Pkt. stetig |
Mein Ansatz war bislang der hier:
Es gibt eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\in \IQ [/mm] für alle [mm] n\in \N, [/mm] sodass
lim [mm] x_n=0, [/mm] und es gibt eine Folge [mm] y_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] sodass für alle natürlichen Zahlen lim [mm] y_n=0 [/mm] gilt.
Also gilt:
0=lim [mm] f(y_n)=lim f(x_n) [/mm] = 0
Also ist die Funktion im Nullpunkt stetig.
Darf man das so machen, bzw. ist das aussreichend ?
Wenn nicht, warum nicht ?
Wie soll ich vorgehen ?
Ein Ansatz wäre hilfreich,
vielen dank,
mfg. Lé Frog :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktion:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{aus R/Q} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{aus Q} \end{cases}[/mm]
>
> ist im 0 Pkt. stetig
> Mein Ansatz war bislang der hier:
>
> Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]x_n\in \IQ[/mm] für alle [mm]n\in \N,[/mm]
Du meinst $n [mm] \in \IN$! [/mm] (Klick auf die Formel!)
> sodass
>
> lim [mm]x_n=0,[/mm] und es gibt eine Folge [mm]y_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] sodass
> für alle natürlichen Zahlen
Du wolltest wohl "... alle natürlichen Zahlen [mm] $n\,$... [/mm] " schreiben, und dann
"... so dass:..."
> lim [mm]y_n=0[/mm] gilt.
>
> Also gilt:
>
> 0=lim [mm]f(y_n)=lim f(x_n)[/mm] = 0
>
> Also ist die Funktion im Nullpunkt stetig.
>
> Darf man das so machen, bzw. ist das aussreichend ?
Nein!
> Wenn nicht, warum nicht ?
Weil Du dabei nicht nur sagen darfst, "dass es eine Folge gibt". Sondern Du
musst sagen:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] IRGENDEINE Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $\lim x_n=0\,,$ [/mm] so folgt [mm] $\lim f(x_n)=\lim 0=0\,,$ [/mm]
(das ist quasi trivial) und ist [mm] $(y_n)_n$ [/mm] IRGENDEINE Folge in [mm] $\IR \setminus \IQ\,$ [/mm] mit
[mm] $\lim y_n=0\,,$ [/mm] so folgt [mm] $\lim f(y_n)=0\,.$ [/mm] (Nebenbei: Warum folgt [mm] $\lim f(y_n)=0$ [/mm] denn eigentlich?)
(Anders gesagt: Ersetze jeweils das (rotmarkierte) "es gibt eine (Folge)"
durch "für alle (Folgen)" - und begründe dann Deine Behauptungen auch!)
Denn eigentlich musst Du zeigen: Für alle Folgen [mm] $(r_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $\lim r_n=0$ [/mm] folgt
[mm] $\lim f(r_n)=0\;\;\;(=f(0))\,,$ [/mm] aber das kannst Du mit obigen Zwischenschritten dann erledigen.
(Dazu nimmst Du nun IRGENDEINE Folge [mm] $(r_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit Werten in
[mm] $\IR$ [/mm] her, die zudem [mm] $\lim r_n=0$ [/mm] erfülle. (D.h. es werden die [mm] $r_n$ [/mm] nicht
konkretisiert als etwa [mm] $r_n=1/n^2\,,$ [/mm] denn das wäre schon wieder eine
SPEZIELLE reellwertige Nullfolge, sondern Du weißt und darfst im
Folgenden nur die Eigenschaften benutzen, dass [mm] $\IR \ni r_n \to [/mm] 0$ nach
Voraussetzung gilt!) Dann musst Du irgendwie [mm] $f(r_n) \to [/mm] 0=f(0)$ begründen.
Übrigens finde ich es hier am einfachsten, wenn Du das sogar einfach so
machst, also sagst:
"Gelte [mm] $\IR \ni r_n \to [/mm] 0$..."
und dann begründe, dass [mm] $|f(r_n)| \le |r_n|$ [/mm] gilt. Denn was folgt denn
insbesondere für die Folge [mm] $(|r_n|)_n\,,$ [/mm] wenn [mm] $\IR \ni r_n \to [/mm] 0$?)
Dass Dein obiges "es gibt" keinen Sinn macht, um die Aufgabe zu lösen,
zeigt das einfache Beispiel von
$$g [mm] \colon \IR \to \IR$$
[/mm]
definiert durch
[mm] $$g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \cap [0,\,\infty) \\ 0, & \mbox{für } x \in (\IR \setminus \IQ) \cap [0,\,\infty)\\0, & \mbox{für } x \in \IQ \cap (-\infty,\,0)\\1, & \mbox{für } x \in (\IR \setminus \IQ) \cap (-\infty,\,0) \end{cases}\,.$$
[/mm]
Diese Funktion ist unstetig in [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] dennoch gibt es sowohl eine
Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $\lim g(x_n)=\lim [/mm] 1=g(0)$ (bspw. [mm] $x_1=1/n$) [/mm]
und es gibt auch eine Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR \setminus \IQ$ [/mm] mit [mm] $\lim g(y_n)=\lim 1=g(0)\,$ [/mm]
(bspw. [mm] $y_n=-\sqrt{2}/n$). [/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:00 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo,
>
> > Die Funktion:
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{aus R/Q} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{aus Q} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ist im 0 Pkt. stetig
> > Mein Ansatz war bislang der hier:
> >
> > Es gibt eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]x_n\in \IQ[/mm] für alle [mm]n\in \N,[/mm]
>
> Du meinst [mm]n \in \IN[/mm]! (Klick auf die Formel!)
>
> > sodass
> >
> > lim [mm]x_n=0,[/mm] und es gibt eine Folge [mm]y_n[/mm] in [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] sodass
> > für alle natürlichen Zahlen
>
> Du wolltest wohl "... alle natürlichen Zahlen [mm]n\,[/mm]... "
> schreiben, und dann
> "... so dass:..."
>
> > lim [mm]y_n=0[/mm] gilt.
> >
> > Also gilt:
> >
> > 0=lim [mm]f(y_n)=lim f(x_n)[/mm] = 0
> >
> > Also ist die Funktion im Nullpunkt stetig.
> >
> > Darf man das so machen, bzw. ist das aussreichend ?
>
> Nein!
>
> > Wenn nicht, warum nicht ?
>
> Weil Du dabei nicht nur sagen darfst, "dass es eine Folge
> gibt". Sondern Du
> musst sagen:
> Ist [mm](x_n)_n[/mm] IRGENDEINE Folge in [mm]\IQ[/mm] mit [mm]\lim x_n=0\,,[/mm] so
> folgt [mm]\lim f(x_n)=\lim 0=0\,,[/mm]
> (das ist quasi trivial) und ist [mm](y_n)_n[/mm] IRGENDEINE Folge in
> [mm]\IR \setminus \IQ\,[/mm] mit
> [mm]\lim y_n=0\,,[/mm] so folgt [mm]\lim f(y_n)=0\,.[/mm] (Nebenbei: Warum
> folgt [mm]\lim f(y_n)=0[/mm] denn eigentlich?)
>
> (Anders gesagt: Ersetze jeweils das (rotmarkierte) "es gibt
> eine (Folge)"
> durch "für alle (Folgen)" - und begründe dann Deine
> Behauptungen auch!)
>
> Denn eigentlich musst Du zeigen: Für alle Folgen [mm](r_n)_n[/mm]
> in [mm]\IR[/mm] mit [mm]\lim r_n=0[/mm] folgt
> [mm]\lim f(r_n)=0\;\;\;(=f(0))\,,[/mm] aber das kannst Du mit obigen
> Zwischenschritten dann erledigen.
>
> (Dazu nimmst Du nun IRGENDEINE Folge [mm](r_n)_{n \in \IN}[/mm] mit
> Werten in
> [mm]\IR[/mm] her, die zudem [mm]\lim r_n=0[/mm] erfülle. (D.h. es werden
> die [mm]r_n[/mm] nicht
> konkretisiert als etwa [mm]r_n=1/n^2\,,[/mm] denn das wäre schon
> wieder eine
> SPEZIELLE reellwertige Nullfolge, sondern Du weißt und
> darfst im
> Folgenden nur die Eigenschaften benutzen, dass [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]
> nach
> Voraussetzung gilt!) Dann musst Du irgendwie [mm]f(r_n) \to 0=f(0)[/mm]
> begründen.
Ah okay, vielen dank.
> Übrigens finde ich es hier am einfachsten, wenn Du das
> sogar einfach so
> machst, also sagst:
> "Gelte [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]..."
> und dann begründe, dass
> [mm]|f(r_n)| \le |r_n|[/mm] gilt. Denn was folgt denn
> insbesondere für die Folge [mm](|r_n|)_n\,,[/mm] wenn [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]?)
>
Also für die Filge [mm](|r_n|)_n\,,[/mm] folgt aus [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]?) dass natürlich auch [mm](|r_n|)_n\,,[/mm] gegen 0 konvergiert. Mehr würde mir für die Folge jetz nicht einfallen.
> Dass Dein obiges "es gibt" keinen Sinn macht, um die
> Aufgabe zu lösen,
> zeigt das einfache Beispiel von
> [mm]g \colon \IR \to \IR[/mm]
> definiert durch
> [mm]g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \cap [0,\,\infty) \\ 0, & \mbox{für } x \in (\IR \setminus \IQ) \cap [0,\,\infty)\\0, & \mbox{für } x \in \IQ \cap (-\infty,\,0)\\1, & \mbox{für } x \in (\IR \setminus \IQ) \cap (-\infty,\,0) \end{cases}\,.[/mm]
>
> Diese Funktion ist unstetig in [mm]x_0=0\,,[/mm] dennoch gibt es
> sowohl eine
> Folge [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit [mm]\lim g(x_n)=\lim 1=g(0)[/mm] (bspw.
> [mm]x_1=1/n[/mm])
> und es gibt auch eine Folge [mm](y_n)_n[/mm] in [mm]\IR \setminus \IQ[/mm]
> mit [mm]\lim g(y_n)=\lim 1=g(0)\,[/mm]
> (bspw. [mm]y_n=-\sqrt{2}/n[/mm]).
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mo 14.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Übrigens finde ich es hier am einfachsten, wenn Du das
> > sogar einfach so
> > machst, also sagst:
> > "Gelte [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]..."
> > und dann begründe,
> dass
> > [mm]|f(r_n)| \le |r_n|[/mm] gilt. Denn was folgt denn
> > insbesondere für die Folge [mm](|r_n|)_n\,,[/mm] wenn [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]?)
>
> >
>
> Also für die Filge [mm](|r_n|)_n\,,[/mm] folgt aus [mm]\IR \ni r_n \to 0[/mm]?)
> dass natürlich auch [mm](|r_n|)_n\,,[/mm] gegen 0 konvergiert. Mehr
> würde mir für die Folge jetz nicht einfallen.
Das genügt ja auch.
Wichtig ist, dass Du [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f(r_n) [/mm] = 0$ zeigst.
Dazu reicht es (siehe oben), wenn [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |r_n| [/mm] = 0$ ist,
aber gut wäre noch eine Begründung zu finden,
warum [mm]|f(r_n)| \le |r_n| \quad \forall n \in \IN[/mm] gilt.
>
> > Dass Dein obiges "es gibt" keinen Sinn macht, um die
> > Aufgabe zu lösen,
> > zeigt das einfache Beispiel von
> > [mm]g \colon \IR \to \IR[/mm]
> > definiert durch
> > [mm]g(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in \IQ \cap [0,\,\infty) \\ 0, & \mbox{für } x \in (\IR \setminus \IQ) \cap [0,\,\infty)\\0, & \mbox{für } x \in \IQ \cap (-\infty,\,0)\\1, & \mbox{für } x \in (\IR \setminus \IQ) \cap (-\infty,\,0) \end{cases}\,.[/mm]
>
> >
> > Diese Funktion ist unstetig in [mm]x_0=0\,,[/mm] dennoch gibt es
> > sowohl eine
> > Folge [mm](x_n)_n[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit [mm]\lim g(x_n)=\lim 1=g(0)[/mm] (bspw.
> > [mm]x_1=1/n[/mm])
> > und es gibt auch eine Folge [mm](y_n)_n[/mm] in [mm]\IR \setminus \IQ[/mm]
> > mit [mm]\lim g(y_n)=\lim 1=g(0)\,[/mm]
> > (bspw. [mm]y_n=-\sqrt{2}/n[/mm]).
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Gruß
meili
|
|
|
|
