Stetigkeit ergänzen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
| Aufgabe | Für welche $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] ist die Funktion
$f(x) = [mm] \begin{cases} -2sinx : x \le -\bruch{\pi}{2} \\ asinx + b : |x| < \bruch{\pi}{2} \\ cosx : x \ge \bruch{\pi}{2}\end{cases}$ [/mm]
in [mm] $\IR$ [/mm] stetig? |
Ich habs mal Stetigkeit ergänzen genannt, man soll ja die beiden Konstanten finden, aber meine Frage wie mache ich das jetzt ?
Man kann sich den rechten und linken Teil der Funktion ja gut vorstellen, links, also bei [mm] $-\bruch{\pi}{2}$ [/mm] beginnt sie bei $2$ und rechts, bei [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] beginnt sie bei 0, es fehlt nur ein Stück der Länge ungefähr [mm] $\pi$, [/mm] wobei die Funktion um eine Sinusfunktion erweitert werden soll.
Die erweiterung müsste dann normalerweise $-sinx + 1$ sein, damit f weiterhin stetig wäre denke ich. Muss man sichs hier einfach vorstellen können oder kann man das auch anders herausfinden, weil hier der Lösungsweg gefordert ist?
|
|
| |
|
> Für welche [mm]a, b \in \IR[/mm] ist die Funktion
>
> [mm]f(x) = \begin{cases} -2sinx : x \le -\bruch{\pi}{2} \\ asinx + b : |x| < \bruch{\pi}{2} \\ cosx : x \ge \bruch{\pi}{2}\end{cases}[/mm]
>
> in [mm]\IR[/mm] stetig?
> Ich habs mal Stetigkeit ergänzen genannt, man soll ja die
> beiden Konstanten finden, aber meine Frage wie mache ich
> das jetzt ?
Hallo,
die einzelnen Funktionen sind ja bekanntlich stetig auf ganz [mm] \IR. [/mm]
Dass heisst also du musst nur die Stetigkeit an den Intervallübergängen überprüfen. und das macht man, in dem man die links- und rechtsseitigen Grenzwert in [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] untersucht. Wenn links- und rechtsseitigen Grenzwert eines Punktes übereinstimmen, ist die Fkt in diesem Punkt stetig.
für [mm] \bruch{-\pi}{2} [/mm] würde das bedeuten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ \bruch{-\pi}{2}-}= [/mm] -2sinx
[mm] \limes_{n\rightarrow\ \bruch{-\pi}{2}+}= [/mm] asinx + b.
das gleiche machst du analog für für [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und dann hast du 2 Gleichungen mit zwei variablen, die du dann einfach ausrechnen kannst,
wenn du irgendwas nicht verstanden hast, frag einfach noch mal nach.
MFG
nathenatker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Also ich schaue mir den linksseitigen Grenzwert für $-2sinx$ an, welcher gegen 2 konvergiert wegen $-2 [mm] \cdot [/mm] (-1)$ und setzte das gleich dem rechtseitigen Grenzwert an [mm] $-\bruch{\pi}{2}$von [/mm] $asinx + b$ und das gleiche mache ich für die Stelle [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] auch und bekomme somit den Grenzwert 0.
Aber jetzt verstehe ich nicht was du mit den 2 Gleichungen meinst und wie ich die Konstanten ausrechnen kann, irgendwie hab ich gerade nen Brett vorm Kopf :/
|
|
|
| |
|
> Also ich schaue mir den linksseitigen Grenzwert für [mm]-2sinx[/mm]
> an, welcher gegen 2 konvergiert wegen [mm]-2 \cdot (-1)[/mm] und
> setzte das gleich dem rechtseitigen Grenzwert an
> [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]von [mm]asinx + b[/mm] und das gleiche mache ich für
> die Stelle [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] auch und bekomme somit den
> Grenzwert 0.
genau, dass ist erstmal richtig.
also nochmal für [mm] -\bruch{\pi}{2}:
[/mm]
wie gesagt, du setzt den rechts- und linksseitigen grenzwert gleich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ \bruch{-\pi}{2}-}= \limes_{n\rightarrow\ \bruch{-\pi}{2}+}
[/mm]
2 = -a+b
und für [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gilt:
0 = a+b
> Aber jetzt verstehe ich nicht was du mit den 2 Gleichungen
> meinst und wie ich die Konstanten ausrechnen kann,
> irgendwie hab ich gerade nen Brett vorm Kopf :/
so jetzt hast die zwei Gleichungen mit zwei Variablen. und jetzt lässt sich für a und b eine Lösung finden, so dass beide gleichungen erfüllt werden!
und somit weisst du dann für welche a und b deine Funktion stetig ist.
hoffe das brett ist jetzt weg.
MFG
Nathenatiker
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Asooo, jetzt hab ichs kapiert, also jeweiligen x-seitigen Grenzwert der schon existierenden Abschnittsfunktion gleich der gesuchten Funktion setzen und die Stelle, an der der Grenzwert untersucht wird, in diese Funktion einsetzen, somit müssen nur noch die Konstanten gefunden werden, mit welchen die gesuchte Funktion diesen Grenzwert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] hat.
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
|
|
|
|
