Stetigkeit einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist folgende Funktion stetig:
[mm] f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
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Hey
also die Funktion besteht sozusagen aus zwei Funktionen. 0 und einer Sinus-Funktion.
0 ist ja eine stetige Funktion. Beweisen kann man das ja mit dem epsilon-delta-Kriterium.
| f(x) -f(xo)|<epsilon
| 0 -0| <epsilon
es gilt für alle x,xo: |x-xo|<delta
jetzt weiß ich nicht wie man Stetigkeit von 0 für beliebiges xo nachweisen kann.
[mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] ist auch stetig, nur wie beweise ich das für allgemeines xo?
[mm] |sin(\bruch{1}{x}) -sin(\bruch{1}{xo})| <\varepsilon [/mm] ?
zur Aufgabe:
Da ja die beiden Funktionen stetig sind, muss bewiesen werden, dass die normale Funktion im Punkt xo=0 stetig ist.
|f(x) - [mm] f(0)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] |sin(\bruch{1}{x}) [/mm] -0| [mm] <\varepsilon
[/mm]
[mm] |sin(\bruch{1}{x})|<\varepsilon
[/mm]
nun weiß ich auch nicht, wie man hier weiter vorgehen sollte.
Aber es gibt ja eine andere Definition um Stetigkeit zu bewiesen:
Die Funktion ist stetig in 0 wenn gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow xo}(f(x)) [/mm] = f(xo)
also:
[mm] \limes_{x\rightarrow xo}(sin(\bruch{1}{x})) [/mm] = divergiert und somit [mm] \not=0=f(0)
[/mm]
Somit ist die Funktion nicht stetig.
Nur mit dem Epsilon-Delta-Kriterium ist es schwierig.
Denn mit der Limes-Defintion sollte doch folgendes auch korrekt sein:
[mm] \limes_{x\rightarrow xo}(sin(\bruch{1}{x})) [/mm] = [mm] sin(\bruch{1}{xo}) [/mm] und somit ist die Funktion [mm] sin(\bruch{1}{x})) [/mm] stetig.
Ist dies so richtig?
Und kann mir jemand erklären,wie das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium machbar ist?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin(1/x) ist stetig nur für [mm] x\ne0 [/mm] da ist es die komposition aus 2 stetigen Funktionen.
bei x=0 ist es unstetig: Wenn du dirs in ner umgebung von 0 plotten lässt siehst du warum.
also zeig dass es in jeder Umgebung von 0 Werte mit sin1/x=1 gibt! Du kannstsogar ne Nullfolge [mm] x_n [/mm] angeben mit [mm] sin1/x_n)=1 [/mm] oder ne andere mit [mm] sin(1/x_n)=0.5 [/mm] usw
Gruss leduart.
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mhm...
Den Satz , der die Stetigkeit begründet, da sin(1/x) eine Komposition von 1/x und sin(x) ist kenne ich. Und Stetig ist es ja im Defintionsbereich.
sin(1/x) geht strebt gegen [mm] \pm1 [/mm] für x gegen 0.
Kleine Zwischenfrage: Das ist mir auch in den Vorlesungen aufgefallen, dass viele anstatt das x eine folge xn benutzen.
Macht es einen Unterschied wenn man : [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(sin(1/x) [/mm] oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(sin(1/xn)) [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(xn)=0 [/mm] benutzt?
Zurück zur Frage:
Bei der Aufgabe könnte man es doch so machen:
|sin(1/x)|<epsilon
|1/x|<arcsin(epsilon)
da ja gilt: |x-xo|<delta unf für xo=0 gilt: |x|<delta bedeutet das:
1/arcsin(epsilon) <|x|<delta
und somit ist die Funktion stetig.
Ist das richtig?
Zu der allgemeinen Stetigkeit von der Funktion f(x)=0 und die andere Funktion f(x)=sin(1/x).
für f(x)=0 Stetigkeit beweisen:
|f(x)-f(xo)|<epsilon für alle |x-xo|<delta
also:
|0-0|<epsilon
| 0|<epsilon
|(x-xo)+(-(x-xo))| <=|x-xo| +|x-xo|<delta<epsilon
für f(x)=sin(1/x):
|sin(1/x) -sin(1/xo)|<epsilon
vielleicht muss man hier ein Additionstheorem anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Satz "sin(1/x) geht strebt gegen $ [mm] \pm1 [/mm] $ für x gegen 0.
ist falsch!
Dein rumhampeln mit arcsin ist alles falsch, 1/x<arcsin(0.01)
etwa sagt x>100 und nicht x klein! du verwechselst 1/x mit x, für x gegen 0 wird 1/x riesig!
um Unstetigkeit zu zeigen reicht eine einzige Nullfolge [mm] {x_n}->0 [/mm] und und [mm] lim(sin(1/x_n)\ne [/mm] sin(0) zu zeigen. für Stetigkeit muss das für JEDE Nullfolge gelten.
Aber du scheinst meinen post nicht gelesen zu haben, ich hab doch gerade gesagt sin(1/x) ist NICHT stetig bei 0, weil es in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 jeden Wert zwischen -1 und + 1 annimmt!
Gruss leduart
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ok stimmt, sry
sin(1/x) divergiert und nimmt werte zwischen -1 und 1 an.
ok
aber vll könntest du mir erstmal sagen, was eig alles richtig ist(falls überhaupt was richtig ist)
das sin(1/x) unstetig ist für x=0 ist klar, aber stetig in seinem gesamten Definitionsbereich.
Hab mich vertan, da der limes von sin(1/x) für x gegen 0 nicht existiert und somit nach der limes-definition für die stetigkeit, die gesamte Funktion unstetig ist.(die gesamte funktion ist die funktion die aus den teilfunktionen 0 und sin(1/x) besteht).
Wie gehts das mit der epsilon-delta-defintion?
Das ist doch im 1. Post dieses Threads richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:37 Di 09.02.2010 | | Autor: | Stexyan |
Die sinusfuktion ist nicht stetig insofern betrachtest du sie sowieso nur in der grenze bis null (sofern 1/x) wo ist dein problem ? auch bei der epsylon - rechnung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Di 09.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die sinusfuktion ist nicht stetig insofern
das ist Unsinn. $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] ist sogar als Funktion [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] stetig!
Besten Gruß,
Marcel
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Mhm, hier ist es wirklich etwas durcheinander gekommen, sodass ich einfach alles nochmal genauer und strukturierter aufschreibe:
Erstmal zur Aufgabe:
[mm] f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Die Limes-Defintion zur Stetigkeit sagt aus:
f(x) ist stetig [mm] xo\in [/mm] D(Definitionsbereich) stetig, wenn der Grenzwert von f für x->xo existiert und lim( f(x) )=lim( f(xo) ) für x->xo gilt.
Auf die Aufgabe bezogen bedeutet das für xo=0(da wir vorraussetzen, dass 0 und sin(1/x) in ihrem Definitionsbereich stetig ist und somit nur die Stetigkeit an der Stelle 0 bewiesen soll)
lim( sin(1/x) ) =nicht definiert für x->0 und somit gibt es den Grenzwert auch nicht(bzw nicht nur einen sondern viele zwischen -1 und 1) und somit ist f(x) nicht stetig.
Eine Frage dazu: Wie macht man das mit dem Epsilon-Delta-Kriterium?
Es muss gelten: | f(x) -f(xo) [mm] |<\varepsilon [/mm] für alle |x [mm] -xo|<\partial.
[/mm]
Für xo=0 also:
|f(x) -f(xo)|= |sin(1/x) -0|=|sin(1/x)| [mm] <\varepsilon [/mm] für alle [mm] |x|<\partial
[/mm]
soweit müsste es doch korrekt sein oder?
Auch hier habe ich ein paar Fragen:
Wieso setzt man für f(x) sin(1/x) ein und nicht 0?(muss man vielleicht eine Fallunterscheidung machen mit x=0 und x ungleich 0 und das gleiche mit [mm] |0-0|<\varepsilon [/mm] machen?)
Wie kann man hier weiter vorgehen?
|sin(1/x)| [mm] <\varepsilon [/mm] für alle [mm] |x|<\partial [/mm] ?
So
nun zu den allgemeinen Stetigkeitbeweisen für:
g(x)=0 und h(x)=sin(1/x)
für g(x) ist der Definitionsbereich ganz [mm] \IR
[/mm]
mit der Limes-Definiton: [mm] \limes_{x\rightarrow xo}(f(x))=\limes_{x\rightarrow xo}(0)=0=f(xo). [/mm] g(x) ist in allen xo stetig. ok?
mit der epsilon-delta-definition:
| g(x) -g(xo) [mm] |<\varepsilon [/mm] für alle |x [mm] -xo|<\partial.
[/mm]
also:
| 0 - 0|=|0|
| (x-xo) +( -(x-xo) ) | [mm] \le [/mm] |x-xo| + |-(x-xo)| =|x-xo| + |x-xo|=2*|x-xo| und somit [mm] <\partial <\varepsilon.
[/mm]
Ist somit die Stetigkeit von g(x) in xo bewiesen mit dem epsilon-delta-Kriterium?
Jetzt zu h(x)=sin(1/x)
Mit der Limes-Definition: h(x) ist in xo [mm] \in [/mm] D stetig, falls der Grenzwert von h für x->xo existiert und [mm] \limes_{x\rightarrow xo}(h(x))=h(xo) [/mm] gilt.
so:
[mm] \limes_{x\rightarrow xo}(sin(1/x)) [/mm] = sin(1/xo) und somit ist h(x) in seinem Defintionsbereich stetig. ok?
Die Epsilon-Delta-Definition:
|h(x)-h(xo)|=| sin(1/x) -sin(1/xo) |
wie weiter?
Jetzt müsste es strukturierter sein und sry, wenn ich jetzt nicht alle Posts beachtet hab, da hier alles irgendwie durcheinander wurde.
Eine andere Frage ist , wieso man anstelle von zb. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{x})=0 [/mm] eine Nullfolge xn wählt und dann schreibt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{xn})=0
[/mm]
wo liegt der unterschied?
[mm] \
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 Di 09.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich bin leider gerade gezwungen, ins Bett zu gehen, aber noch kurz hierzu:
> Erstmal zur Aufgabe:
> ist f(x) stetig?
Nein! Denn: Wäre [mm] $f\,$ [/mm] stetig, so wäre [mm] $f\,$ [/mm] stetig in allen [mm] $x\,$ [/mm] ihres Definitionsbereiches. Aber [mm] $f\,$ [/mm] ist unstetig in [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
> Die Limes-Defintion zur Stetigkeit sagt aus:
> f(x) ist stetig [mm]xo\in[/mm] D(Definitionsbereich) stetig, wenn
> der Grenzwert von f für x->xo existiert und lim( f(x)
> )=lim( f(xo) ) für x->xo gilt.
>
> Auf die Aufgabe bezogen bedeutet das für xo=0(da wir
> vorraussetzen, dass 0 und sin(1/x) in ihrem
> Definitionsbereich stetig ist und somit nur die Stetigkeit
> an der Stelle 0 bewiesen soll)
Hier wird's falsch: Du kannst zeigen, dass obiges [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist in allen $x [mm] \not=0\,.$ [/mm] Aber Du kannst nicht beweisen, dass die Funktion an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] stetig ist. Denn sie ist unstetig in [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] (Siehe auch das P.P.S. in einer meiner Mitteilungen.) Also ist die Funktion auch als ganzes unstetig (da sie einen Unstetigkeitspunkt enthält).
Beste Grüße,
Marcel
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du hast leider nicht alles gelesen.
Das ist ja sozusagen eine beweisführung: deshalb:"ist f stetig?" gefolgt von der beweisführung,obs stetig ist.
Und weiter unten habe ich doch bewiesen, dass die funktion f nicht stetig ,also das f unstetig ist, da es ja in xo unstetig ist.
das habe ich doch bewiesen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Roxas,
> du hast leider nicht alles gelesen.
> Das ist ja sozusagen eine beweisführung: deshalb:"ist f
> stetig?" gefolgt von der beweisführung,obs stetig ist.
> Und weiter unten habe ich doch bewiesen, dass die funktion
> f nicht stetig ,also das f unstetig ist, da es ja in xo
> unstetig ist.
> das habe ich doch bewiesen
okay. Ich hab's entweder falsch interpretiert oder einfach nicht wirklich vollständig gelesen. Es war einfach zu spät. Dann mal sorry meinerseits dafür.
Besten Gruß,
Marcel
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Hallo,
> [mm]f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Die Limes-Defintion zur Stetigkeit sagt aus:
> f ist stetig [mm]xo\in[/mm] D(Definitionsbereich) stetig, wenn
> der Grenzwert von f für x->xo existiert und lim( f(x)
> )=lim( f(xo) )
[mm] =f(x_0)
[/mm]
>für x->xo gilt.
Ja.
>
> Auf die Aufgabe bezogen bedeutet das für xo=0(da wir
> vorraussetzen, dass 0 und sin(1/x) in ihrem
> Definitionsbereich stetig ist
Nein.
Wie setzen nicht voraus (mit einem r), daß die Nullfunktion und sin(1/x) stetig sind, sondern es ist eine Tatsache, daß dies so ist.
Wobei uns übrigens die Stetigkeit der Nullfunktion bei dieser Aufgabe nicht die Bohne interessiert.
Die Stetigkeit von sin(1/x) über ihrem Definitionsbereich ergibt sich aus dem Satz der Vorlesung, welcher besagt, daß Kompositionen stetiger Funktionen über ihrem Definitionsbereich stetig sind.
Dieser Satz war dran und kann und soll (auch in der Klausur) verwendet werden.
Die Stetigkeit von f über [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] steht hiermit, und man kann sich jegliches Gezappel ersparen,
ebenso wie die Stetigkeit von konstanten und sonstigen einschlägigen Funktionen als Fakt zu behandeln ist, wenn solche Aufgabenstellungen wie oben zu bearbeiten sind.
Man muß nicht bei Adam und Eva oder gar noch davor beginnen - daher werde ich die Stetigkeitsbeweise für die Nullfunktion und sin(1/x), die Du unten bringst, gar nicht anschauen.
> und somit nur die Stetigkeit
> an der Stelle 0 bewiesen soll)
Das wird nicht gelingen.
Es muß die Stetigkeit an der Stelle x=0 untersucht werden.
> lim( sin(1/x) ) =nicht definiert für x->0 und somit gibt
> es den Grenzwert auch nicht(bzw nicht nur einen sondern
> viele zwischen -1 und 1)
Es gibt nicht viele Grenzwerte. Es gibt keinen, wie Du auch zuerst schreibst.
Du meinst dies: es gibt viele Folgen, die gegen 0 konvergieren, und für die die Folge der Funktionswerte jeweils gegen einen anderen Wert zwischen -1 und 1 konvergiert.
> und somit ist f(x) nicht stetig.
Genau.
>
> Eine Frage dazu: Wie macht man das mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium?
Wäre f in [mm] x_0=0 [/mm] stetig, so müßte man zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] finden, so daß
> Es muss gelten: | f(x) -f(xo) [mm]|<\varepsilon[/mm] für alle |x
> [mm]-xo|<\partial.[/mm]
> Für xo=0 also:
> |f(x) -f(xo)|= |sin(1/x) -0|=|sin(1/x)| [mm]<\varepsilon[/mm] für
> alle [mm]|x|<\partial[/mm]
> soweit müsste es doch korrekt sein oder?
> Auch hier habe ich ein paar Fragen:
>
> Wieso setzt man für f(x) sin(1/x) ein und nicht 0?
Die x entstammen der [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] x_0. [/mm] Nur für [mm] x=x_0 [/mm] ist ja f(x)=0, sonst ist [mm] f(x)=sin(\bruch{1}{x}).
[/mm]
Vielleicht ist Dir wohler, wenn Du schreibst: |f(x) [mm] -f(x_0)|\le [/mm] |sin(1/x) -0|
> (muss
> man vielleicht eine Fallunterscheidung machen mit x=0 und x
> ungleich 0 und das gleiche mit [mm]|0-0|<\varepsilon[/mm] machen?)
>
> Wie kann man hier weiter vorgehen?
> |sin(1/x)| [mm]<\varepsilon[/mm] für alle [mm]|x|<\partial[/mm] ?
Du willst die Stetigkeit in [mm] x_0=0 [/mm] widerlegen.
Dazu zeigst Du, daß Du ein [mm] \varepsilon [/mm] auf Lager hast, für welches man kein passendes [mm] \delta [/mm] finden kann, so daß die Stetigkeitsbedingung erfüllt ist.
Das kannst Du so machen: sei [mm] \varepsilon =\bruch{1}{2}. [/mm] Angenommen es gibt so ein [mm] \delta, [/mm] welches tut, was es soll.
Zu diesem [mm] \delta [/mm] findet man ein k mit [mm] \bruch{2}{\pi(4k+1)}<\delta.
[/mm]
Es ist also [mm] x':=\bruch{2}{\pi(4k+1)} [/mm] in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] x_0=0.
[/mm]
Und jetzt rechnest Du vor, daß [mm] |f(x')-f(x_0)| [/mm] eben nicht kleiner als das gewählte [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Ich habe nicht den ganzen Thread durchgelesen, ich nehme an, daß die Unstetigkeit bereits über die Folgendefinition gezeigt wurde.
> Eine andere Frage ist , wieso man anstelle von zb.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{x})=0[/mm] eine Nullfolge
> xn wählt und dann schreibt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{xn})=0[/mm]
> wo liegt der unterschied?
>
Hm. Was Du schreibst, ist mir nicht ganz verständlich.
Meinst Du dies?
Man will zeigen, daß [mm] \lim_{x\to x_0}f(x)=b [/mm] ist, und man arbeitet dafür mit einer beliebigen Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] \lim_{n\to \infty}x_n=x_0 [/mm] und zeigt dann, daß für jede solcher Folgen gilt [mm] \lim_{n\to \infty}f(x_n)=b [/mm] ?
Dies ergibt sich aus der Definition für den Grenzwert von Funktionen, dessen Studium Dir hiermit empfohlen sein.
Gruß v. Angela
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hey danke für die tipps.
Ich wollte mit dem Stetigkeitsbeweis von 0 und sin(1/x) nur die Beweisführung üben.
Woher kommst du aber auf die Werter von Epsilon und die Ungleichung mit dem pi?
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> Woher kommst du aber auf die Werter von Epsilon und die
> Ungleichung mit dem pi?
Hallo,
kannst Du Dir vorstellen, daß es schwierig ist, hierauf zu antworten, wenn man gar nicht sieht, worauf Du Dich beziehst?
Die Zitierfunktion ist Dir bekannt? (Button unter dem Eingabefenster.)
Passende Vorgehensweise: zitieren und das, was davon nicht relevant ist, löschen.
Ich nehme nun mal an, daß Du den [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Beweis für die Unstetigkeit in 0 meinst.
Auf das [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 kommt man, wenn man sich den Verlauf der Funktion sin(1/x) überlegt oder anschaut. Der Graph oszilliert in der Gegend um die 0 ja heftigst zwischen -1 und 1, so daß es anschaulich klar ist, daß die Funktionswerte aus der 1/2-Umgebung von f(0)=0 herausspringen werden.
Mein x' ergibt sich aus der Überlegung, wie die Stellen aussehen, an denen die Funktion den Funktionswert 1 annimmt: die Kehrwerte von [mm] 2k\pi +\bruch{1}{2}\pi, k\in \IZ.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Di 09.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Denn mit der Limes-Defintion sollte doch folgendes auch
> korrekt sein:
> [mm]\limes_{x\rightarrow xo}(sin(\bruch{1}{x}))[/mm] =
> [mm]sin(\bruch{1}{xo})[/mm] und somit ist die Funktion
> [mm]sin(\bruch{1}{x}))[/mm] stetig.
Deine Behauptung
[mm] $$\limes_{x\rightarrow x_0}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)=\sin\left(\bruch{1}{x_0}\right)$$
[/mm]
meint eigentlich genauer
[mm] $$\limes_{x\rightarrow x_0}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)=\sin\left(\lim_{x \to x_0}\frac{1}{x}\right)\;\;\;\underbrace{\green{\left(=\sin\left(\frac{1}{\limes_{x \to x_0}x}\right)\right)\;\;\;}}_{\text{darf auch "überlesen" werden}}=\sin\left(\bruch{1}{x_0}\right)\,.$$
[/mm]
Das bedeutet, dass Du [mm] $\blue{\lim_{x \to x_0}f(g(x))}=f(\lim_{x \to x_0}g(x))\blue{=f(g(x_0))}$ [/mm] benutzen willst. Dabei benötigst Du aber insbesondere die Voraussetzung, dass die Funktion [mm] $g(x)\,$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] definiert (und stetig) ist. Bei Dir oben ist aber [mm] $g(x):=1/x\,$ [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] weder definiert noch stetig ergänzbar. Also: Auch mit dieser Argumentation ist [mm] $x_0=0$ [/mm] eine "Problemstelle".
P.S.:
Für [mm] $x\not=x_0$ [/mm] gilt allerdings in der Tat
[mm] $$\limes_{x\rightarrow x_0}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)=\sin\left(\lim_{x \to x_0}\frac{1}{x}\right)=\sin\left(\bruch{1}{x_0}\right)\,,$$
[/mm]
weil [mm] $g(x)=1/x\,$ [/mm] in [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] stetig (und definiert) ist.
Beste Grüße,
Marcel
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Ok,stimmt
also müsste ich einfach ergänzen, dass die Funktion für alle xo im definitionsbereich stetig ist.
ist es dann korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Di 09.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Roxas,
> Ok,stimmt
> also müsste ich einfach ergänzen, dass die Funktion für
> alle xo im definitionsbereich stetig ist.
> ist es dann korrekt?
nein, denn Deine obige Funktion ist stetig auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] (anstatt auf [mm] $\IR$ [/mm] kann man gleiches auch auf [mm] $\IC$ [/mm] betrachten).
Mache mal folgendes:
Betrachte [mm] $x_n:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n*\pi}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$). [/mm] Dann gilt [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=\ldots$ [/mm] (ergänze die Pünktchen!), aber es ist
[mm] $$\sin\left(\frac{1}{x_n}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+n*\pi\right)=\begin{cases} \ldots, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ - \ldots, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
und somit existiert [mm] $\lim_{x \to 0}sin(1/x_n)$ [/mm] nicht. Insbesondere kann also [mm] $\lim_{x \to 0}sin(1/x_n)=\blue{0}$ [/mm] nicht gelten (beachte: [mm] $f(x):=\sin(1/x)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$, $\blue{f(0):=0}$). [/mm] Also ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht stetig in [mm] $0\,.$
[/mm]
Hier kann man sagen:
Schränkt man die Funktion auf einen Definitionsbereich ein, der [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht enthält, so ist die Funktion stetig. Aber die Funktion selber ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig, somit ist die Funktion auch insgesamt nicht stetig (man sagt ja, dass eine Funktion stetig ist genau dann, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist).
P.S.:
Jede Einschränkung der Funktion auf einen Definitionsbereich, der sowohl die [mm] $0\,$ [/mm] enthält und bei dem die [mm] $0\,$ [/mm] auch Häufungspunkt des Definitionsbereiches ist, ist nicht stetig (da solche Einschränkungen unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] sind).
P.P.S.:
Die Unstetigkeit mit dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] kann man auch mit obiger Überlegung nachweisen:
1.) Die Verneinung der Stetigkeit in [mm] $x_0=0$ [/mm] heißt:
Es gibt ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$, so dass man zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ einen Punkt [mm] $x=x_\delta$ [/mm] findet mit [mm] $|x_\delta-x_0|=|x-0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] aber $|f(x)-f(0)| [mm] \ge \varepsilon_0\,.$
[/mm]
2.) Hier: Sei [mm] $\varepsilon=1/2\,.$ [/mm] Ist [mm] $\delta [/mm] > 0$ beliebig, so wähle ein [mm] $N=N_\delta \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $$\left|\frac{1}{\frac{\pi}{2}+N*\pi}-x_0\right|=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+N*\pi} [/mm] < [mm] \delta\,.$$ [/mm]
Setze [mm] $x=x_N:=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+N*\pi}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $|x-x_0|=|x_N-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,,$ [/mm] und
[mm] $$\left|f(x)-f(0)\right|=|f(x_N)|=1 [/mm] > [mm] \varepsilon=1/2\,.$$
[/mm]
Da [mm] $\delta [/mm] > 0$ beliebig war, ist [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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