Stetigkeit durch limes < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Di 10.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe der Limesde finition die Stetigkeit der Funktionen [mm] x^{n} [/mm] und [mm] \frac{1}{x^{n}} [/mm] für [mm] x\not=0 [/mm] |
Hallo meine Lieben :)
Ich bin gerade dabei mir das Kapitel stetigkeit durch zu lesen und bin auf ein interessantes Problem gestoßen.
Nun würde ich das gerne selbst berechnen und habe mir mal folgendes überlegt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{x^{n}}=x^{\limes_{n\rightarrow\infty}{n}} [/mm] wobei [mm] x^{\infty} [/mm] eigentlich ein unbestimmter ausdruck ist :/ Rein nach gefühl würde ich behaupten dass der wert gegen 0 geht, also an der stelle 0 stetig ist. Wie könnte ich diesen Ausdruck umschreiben? Ist hier de l'Hopîtal an zu wenden?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{x^{n}}}={\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}{x^{n}}}}=\frac{1}{x^{\limes_{n\rightarrow\infty}{n}}} [/mm] wobei das auch auf einen unbestimmten ausdruck führt :(
vielleicht ist es auch besser [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{x^{n}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}{x^{-n}} [/mm] zu schreiben, dann habe ich 2 mal das annähernd selbe problem zu lösen. gefühlsmäßig würde ich auch hier behaupten dass der limes 0 ist.
könnte bei diesen 2 bsp die formel [mm] \frac{q}{1-q} [/mm] behilflich sein ? oder ist das ganze Bsp von x abhängig?
Hoffe ihr könnt mir weiter helfen :)
Liebe Grüße Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Meine Güte. Da gehts aber rund ! Du hast einiges gewaltig in den falschen Hals bekommen.
Sei [mm] x_0 \ne [/mm] 0. Du sollst zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}x^n=x_0^n
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1}{x^n}=\bruch{1}{x_0^n}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Di 10.01.2012 | | Autor: | meely |
Ich hätte für die stetigkeit nur x gegen [mm] x_0 [/mm] gehen lassen müssen?
also verwendest du anstatt von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{f(x_n)}=f(c) [/mm] einfach [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}{f(x)}=f(c) [/mm] ? Habe ich das richtig verstanden :) ? (diese definition habe ich gerade in meinem skript entdeckt)
Danke für deine schnelle Antwort :D total lieb von dir
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte für die stetigkeit nur x gegen [mm]x_0[/mm] gehen lassen
> müssen?
>
> also verwendest du anstatt von
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{f(x_n)}=f(c)[/mm] einfach
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}{f(x)}=f(c)[/mm] ? Habe ich das richtig
> verstanden :) ? (diese definition habe ich gerade in meinem
> skript entdeckt)
Ist f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und ist [mm] x_0 \in [/mm] D, so ist f in [mm] x_0 [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm]
für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in D mit [mm] x_n \to x_0 [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x_0)
[/mm]
Ist dies der Fall, so schreibt man auch [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}{f(x)}=f(x_0)[/mm]
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> Danke für deine schnelle Antwort :D total lieb von dir
Danke
>
> Liebe Grüße
Ebenso
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Di 10.01.2012 | | Autor: | meely |
Danke ich habs verstanden :D vielen Dank für deine liebe Hilfe.
Liebe Grüße
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