Stetigkeit durch Trafo < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | | Ich habe schon öfters gesehen dass Leute eine Koordinatentrafo benutzt haben, um z.B. zu zeigen, dass eine rotationssymmetrische Funktion im Nullpunkt stetig ist, dabei haben sie eine Funktion die z.B. von (x,y) abhängt in polarkoordinaten umgeschrieben und r-> 0 gehen lassen. |
Meine Frage ist, wie genau man dieses Vorgehen erklären kann. 1.) ist die polarkoordinatenabbildung ja keine bijektion der auf ganz IR², da z.B. der winkel in der 0 nicht eindeutig ist und daher kann man auch nicht von einem homöomorphismus von IR² nach IR² sprechen. daher bin ich mir unsicher, ob dieses vorgehen wirklich korrekt ist oder eher handwaving?
Insbesondere interessiert mich hier natürlich die exakte mathematische Begründung für die Richtigkeit dieses Vorgehens.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:53 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe schon öfters gesehen dass Leute eine
> Koordinatentrafo benutzt haben, um z.B. zu zeigen, dass
> eine rotationssymmetrische Funktion im Nullpunkt stetig
> ist, dabei haben sie eine Funktion die z.B. von (x,y)
> abhängt in polarkoordinaten umgeschrieben und r-> 0 gehen
> lassen.
>
> Meine Frage ist, wie genau man dieses Vorgehen erklären
> kann. 1.) ist die polarkoordinatenabbildung ja keine
> bijektion der auf ganz IR², da z.B. der winkel in der 0
> nicht eindeutig ist und daher kann man auch nicht von einem
> homöomorphismus von IR² nach IR² sprechen. daher bin ich
> mir unsicher, ob dieses vorgehen wirklich korrekt ist oder
> eher handwaving?
>
> Insbesondere interessiert mich hier natürlich die exakte
> mathematische Begründung für die Richtigkeit dieses
> Vorgehens.
mach' doch einfach mal ein Beispiel, damit man Deine Frage besser
verstehen kann.
Oft ist's einfach so, dass, wenn man eine Funktion $f: [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] hat,
durch das umschreiben in Polarkoordinaten einfach "besser" erkennt, dass
gilt:
Ist [mm] ${((x_n,y_n))}_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)\,,$ [/mm]
so folgt
[mm] $$\Big(f((x_n,y_n)=\Big)\;\;\;f(x_n,x_n) \to f(x_0,y_0)\;\;\;\Big(=f((x_0,y_0))\Big)\,.$$
[/mm]
Es ist ja ein Standardresultat der Analysis, dass die Stetigkeit für
Funktionen zwischen metrischen Räumen mit "Folgenstetigkeit"
charakterisiert werden kann - und das kommt dann etwa zum Einsatz.
Ein Beispiel findest Du etwa hier (klick!), wobei Du dann einfach
sagst:
> Die Funktion f sei für (x,y) $ [mm] \not= [/mm] $ (0,0) gegeben durch
[mm] $$f(x,y):=\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$
[/mm]
> und zudem
[mm] $$f(0,0):=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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