Stetigkeit,differenzierbar,.. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Zeige die folgende Aussage:
Es sei x0 eine Stelle aus dem Definitionsbereich von f und es gelte
a) f ist in x0 linksseitig stetig
b) f ist für die Stellen x<x0 des Definitionsbereichs differenzierbar und
c) es existiert der linksseitige Grenzwert A:= lim x--> xo- f'(x) [mm] \ir \IR [/mm] .
Dann ist f in x0 linksseitig differenzierbar mit linksseitiger Ableitung A, d.h.
lim x --> xo- ((f(x)-f(x0)) / (x-x0)) = A
Markiere im Beweis die Stellen, an denen Du jeweils die Voaraussetzungen a, b, c benutzt hast.
Hinweis: Benutze den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. |
Ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll, ich bitte um Tipps.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Für [mm] x
[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Stelle diesen Quotienten mit Hilfe des Mittelwertsatzes dar und schau, was passiert , wenn x [mm] \to x_0 [/mm] geht
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Mit dem Mittewertsatz sieht es so aus:
(f(b)-f(a)) / (b-a) = f'(x0)
Und was genau bringt mir das? :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mit dem Mittewertsatz sieht es so aus:
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> (f(b)-f(a)) / (b-a) = f'(x0)
Deine Flexibilität raubt mir den Atem ...
Nein, so sieht das nicht aus ! Sondern:
Zu [mm] x
$ [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(t_x)$
[/mm]
Was liefert nun Vor. c) ?
FRED
>
> Und was genau bringt mir das? :S
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Achsoo :), jetzt sehen wir doch durch den Mittelwertsatz, dass der linksseitige Grenzwert existiert, oder?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Achsoo :), jetzt sehen wir doch durch den Mittelwertsatz,
> dass der linksseitige Grenzwert existiert, oder?!?
Mit x geht auch [mm] t_x [/mm] gegen [mm] x_0, [/mm] daher (mit Vor. c)):
$ [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(t_x) \to [/mm] A$ (x [mm] \to x_0)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Damit hast du doch gezeigt, dass der linksseitige Grenzwert existiert und wie zeigt man eigentlich, dass es stetig und differenzierbar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Das bringt mich alles iwie ein wenig durcheinander, weil uns der Prof gesagt hat, dass wir mit der stetigkeit anfangen sollen :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Damit hast du doch gezeigt, dass der linksseitige Grenzwert
> existiert
Es ist gezeigt: f ist in [mm] x_0 [/mm] linksseitig differenzierbar mit linksseitiger Ableitung A
> und wie zeigt man eigentlich, dass es stetig und
> differenzierbar ist?
Wer sagt, dass das zu zeigen ist ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Bei a) steht das :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bei a) steht das :S
Wer lesen kan ist im Vorteil ....
a) , b) und c) sind Voraussetzungen !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Okay, und wo habe ich denn die Voraussetzung a) benutzt? Ich muss das doch markieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
War das schon der Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> War das schon der Beweis?
Ja
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay, und wo habe ich denn die Voraussetzung a) benutzt?
Nirgends
> Ich muss das doch markieren.
Vor. a) brauchst Du gar nicht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Warum brauche ich das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Warum brauche ich das nicht?
Weil Du es eben nicht brauchst. Wenn der Aufgabensteller der Meinung ist, man braucht es, so irrt er.
Edit: ich habe mich mal wieder geirrt ! Vor. a) braucht man doch !! Oben haben wir den Mittelwertsatz auf das Intervall [x, [mm] x_0] [/mm] angewandt.
Dafür benötigt man die Stetigkeit von f auf diesem Intervall. Da f für [mm] x
f ist auf [x, [mm] x_0] [/mm] stetig [mm] \gdw [/mm] f ist in [mm] x_0 [/mm] linksseitig stetig
Wir haben:
$ [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(t_x) \to [/mm] A $ (x $ [mm] \to x_0) [/mm] $
b) braucht man, das ist klar, und c) ebenso.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Di 14.12.2010 | | Autor: | Bilmem |
Das verwirrt mich jetzt :S Der hat ausdrücklich gesagt, dass wir mit der Stetigkeit beginnen sollen, merkwürdig :S
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