Stetigkeit der Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{3}+4, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,3) \mbox{ } \\ 7, & \mbox{für } (x,y)=(0,3) \end{cases}
[/mm]
[mm] h(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-x*y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] |
zu f(x,y):
ich denke, dass die funktion stetig auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] ist. beweisen sollte man ja mit allgemeinen folgen wie zb [mm] a_n=(a_1_n, a_2_n), [/mm] wobei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=(0,3). [/mm] kann ich dann einfach einsetzen und sagen, dass [mm] f(a_n)=\bruch{0^2+3^2}{3}+4=7, [/mm] und somit stetig?
zu h(x,y):
ich glaube, dass die funktion nicht stetig ist, aber ein gegenbeispiel hab ich leider noch nicht gefunden.
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Hallo John,
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{3}+4, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,3) \mbox{ } \\ 7, & \mbox{für } (x,y)=(0,3) \end{cases}[/mm]
>
> [mm]h(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-x*y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> zu f(x,y):
> ich denke, dass die funktion stetig auf ganz [mm]\IR^2[/mm] ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> beweisen sollte man ja mit allgemeinen folgen wie zb
> [mm]a_n=(a_1_n, a_2_n),[/mm] wobei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=(0,3).[/mm]
> kann ich dann einfach einsetzen und sagen, dass
> [mm]f(a_n)=\bruch{0^2+3^2}{3}+4=7,[/mm] und somit stetig?
>
> zu h(x,y):
> ich glaube, dass die funktion nicht stetig ist, aber ein
> gegenbeispiel hab ich leider noch nicht gefunden.
M.E. ist das Ding stetig.
Außerhalb von 0 sowieso als Komposition stetiger Funktionen.
Für den Stetigkeitsnachweis in $(0,0)$ würde ich zu Polarkoordinaten übergehen:
[mm] $x=r\cdot{}\cos(\varphi), y=r\cdot{}\sin(\varphi)$ [/mm] mit [mm] $r\ge [/mm] 0, [mm] \varphi\in (0,2\pi]$ [/mm]
Das einsetzen und schauen, ob [mm] $\lim\limits_{r\to 0}f(r,\varphi)=0$ [/mm] unabh. vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] ist.
Alternativ lässst sich auch [mm] $|f(x,y)-f(0,0)|=\left|\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}-0\right|=|x|\cdot{}\frac{\left|x^2-y^2|}{x^2+y^2}$ [/mm] ganz gut abschätzen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
danke schon mal für die antwort!
wie schätze ich das denn ab?
$ [mm] |f(x,y)-f(0,0)|=\left|\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}-0\right|=|x|\cdot{}\frac{\left|x^2-y^2|}{x^2+y^2} [/mm] $
etwa so?
0 [mm] \le |x|\cdot{}\frac{\left|x^2-y^2|}{x^2+y^2}\le|x|\cdot{}\frac{\left x^2+y^2}{x^2+y^2}=|x| \to [/mm] 0
und deshalb ist dann [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^3-x\cdot{}y^2}{x^2+y^2}=0 [/mm] und somit auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
also noch dazu schreiben, dass [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] immer positiv sind und deshalb ihre summen immer größer oder gleich ihre differenz ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo johnyan!
> also noch dazu schreiben, dass [mm]x^2[/mm] und [mm]y^2[/mm] immer positiv
> sind und deshalb ihre summen immer größer oder gleich ihre differenz ist?
Zum Beispiel ... ich hatte eher an die Dreiecksungleichung gedacht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
joa, ich hab auch die dreiecksungleichung benutzt, allerdings wusste ich nicht so genau, wie ich die dreiecksungleichung begründen sollte, naja, vielleicht einfach nur dazu schreiben, das gilt wegen der dreiecksungleichung.
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