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Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 23.04.2012
Autor: Parkan

Aufgabe
g(x)= [mm]x-\left \lfloor x \right \rfloor[/mm]  ,   [mm]x \in \IR[/mm]
Weisen Sie nach das für alle x aus R gilt, g ist genau dann stetig in x, wenn x keine ganze Zahl ist.


Ich habe mir den Graphen gezeichnet und es ist offensichtlich das g die unstetigkeitsstellen immer nur dann hat wenn [mm]x \in \IZ[/mm]. Aber wie Beweise ich das formell richtig?

Ich habe bischen mit der Induktion rumgespielt aber es ist nichts gescheites rausgekommen.

Kann mir jemand einen Ansatz geben?

Danke
Janina


        
Bezug
Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mo 23.04.2012
Autor: fred97

i> g(x)= [mm]x-\left \lfloor x \right \rfloor[/mm]  ,   [mm]x \in \IR[/mm]
>  
> Weisen Sie nach das für alle x aus R gilt, g ist genau
> dann stetig in x, wenn x keine ganze Zahl ist.
>  
> Ich habe mir den Graphen gezeichnet und es ist
> offensichtlich das g die unstetigkeitsstellen immer nur
> dann hat wenn [mm]x \in \IZ[/mm]. Aber wie Beweise ich das formell
> richtig?
>  
> Ich habe bischen mit der Induktion rumgespielt aber es ist
> nichts gescheites rausgekommen.
>  
> Kann mir jemand einen Ansatz geben?

Nimm mal ein k [mm] \in \IZ [/mm] her.

Wie sieht g aus im Intervall (k,k+1) ? Ist g in diesem Intervall stetig ?

Für die Unstetigkeit in k betrachte

[mm] \limes_{x\rightarrow k+0}g(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow k-0}g(x) [/mm]

FRED

>  
> Danke
>  Janina
>  


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Mo 23.04.2012
Autor: Parkan


Hmm ich würde sagen im intervall (k,k+1) ist g stetig, den Teil  mit limes verstehe ich ehrlich gesagt garnicht besonders das mit +0, -0


Janina


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Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Mo 23.04.2012
Autor: Parkan


Kann ich so argumentieren.

Es sein k Element aus Z
Für jedes Interval (k,k+2) ist g in k+1 unstetig da dort ein Sprung ist.
Somit ist g für jedes k unstetig.

Janina


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Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 23.04.2012
Autor: Lustique


>
> Kann ich so argumentieren.
>  
> Es sein k Element aus Z
>  Für jedes Interval (k,k+2) ist g in k+1 unstetig da dort
> ein Sprung ist.
>  Somit ist g für jedes k unstetig.
>  
> Janina
>  

Überlege doch erst mal, wie $g$ im Intervall $(k,k+1)$ mit [mm] $k\in \mathbb{Z}$ [/mm] aussieht, so wie es fred97 vorgeschlagen hat. Dann schaue dir an, welchen Wert $g(x)$ für die ebenfalls von fred97 vorgeschlagenen Grenzwerte annimmt. Ich nehme mal an, ihr hattet in der Vorlesung einen Satz wie: Eine Funktion ist stetig in $a$, falls links- und rechtsseitiger Grenzwert (das sind genau die Grenzwerte, die fred97 dir geschrieben hat) in $a$ existieren und übereinstimmen. Sollte das nämlich nicht so sein, so erhältst du in der Tat einen "Sprung", du musst das aber vernünftig anhand von Definitionen/Sätzen/Lemmata/wieauchimmer begründen. Es reicht nicht einfach zu behaupten $g$ ist in $k$ unstetig, deshalb ist $g$ für jedes $k$ unstetig (mehr tust du, so wie du es formuliert hast, nämlich nicht). Du hast dadurch nichts bewiesen. Dann könntest du auch gleich schreiben:

Die Funktion ist unstetig, weil ich das sage. [mm] $\square$ [/mm]

Du musst einfach deine Schlüsse vernünftig, also mathematisch begründen, wie auch schon Schachuzipus bemerkt hat. Ein "weil der Graph halt so aussieht" ist keine Begründung.

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Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Mo 23.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Janina,


>
> Hmm ich würde sagen im intervall (k,k+1) ist g stetig,

Und deine Begründung für deine Vermutung?

> den
> Teil  mit limes verstehe ich ehrlich gesagt garnicht
> besonders das mit +0, -0

Gemeint ist, dass du den rechts- und linksseitigen Limes der Funktion an so einer ganzzahligen Stelle $k$ betrachten sollst.

>
> Janina
>  

Gruß

schachuzipus


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Stetigkeit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Mo 23.04.2012
Autor: Parkan

Weil ich im Graphen keinen Sprung sehe wenn ich nur einen intervall (k,k+1) anschaue.


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Stetigkeit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Mo 23.04.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Weil ich im Graphen keinen Sprung sehe wenn ich nur einen
> intervall (k,k+1) anschaue.

und wenn ich alt und schwach werde und fast blind bin, sehe ich das nicht mehr. Schreibe es doch mal sauber auf:
Sei $k [mm] \in \IZ\$ [/mm] und $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann ist genau dann [mm] $[x]=k\,,$ [/mm] wenn $x [mm] \in [k,k+1)\,.$ [/mm] (Warum? Alles wichtige für die "interessante Beweisrichtung" findest Du etwa unten!) Insbesondere gilt also [mm] $[x]=k\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in (k,k+1)\,.$ [/mm]

Also folgt [mm] $g(x)=x-[x]=x-k\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in (k,k+1)\,.$ [/mm] (Das gilt sogar für alle $x [mm] \in [k,k+1)\,.$) [/mm]

Anders gesagt:
Es gilt [mm] $g_{|[k,k-1)}$ [/mm] ist gegeben durch [mm] $g_{|[k,k-1)}(x)=x-k\,.$ [/mm] Warum ist diese (eingeschränkte) Funktion (für jedes beliebige, aber feste $k [mm] \in \IZ$) [/mm] offenbar stetig?

Und weiter:
Damit kannst Du Dir auch mal überlegen, wie der rechtsseitige Grenzwert von [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x=k\,$ [/mm] aussieht (also $k < x [mm] \to [/mm] k$ laufen lassen).

Außerdem siehst Du damit auch:
Für alle $x [mm] \in [/mm] [k-1,k)$ gilt [mm] $g(x)=x-[x]=x-[x]=x-(k-1)=x-k+1\,.$ [/mm] Wie sieht nun der linksseitige Grenzwert an der Stelle [mm] $x=k\,$ [/mm] aus (d.h. $k > x [mm] \to [/mm] k$ laufen lassen).

P.S.
Man kann es sich hier auch noch ein wenig "einfacher" machen und erklären (also begründen), dass [mm] $g\,$ [/mm] nichts anderes als die [mm] $1\,$-periodische [/mm] Fortsetzung von [mm] $g_{|[0,1)}$ [/mm] ist - und meinetwegen wirklich sogar mit dem Graphen dann erläutern, warum [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1)\,$ [/mm] stetig ist und warum diese so periodisch fortgesetzte Funktion dann an allen $z [mm] \in \IZ$ [/mm] unstetig ist. Aber sauber aufschreiben muss man es dennoch, auch, "wenn dieser [mm] "$\infty$-parallele-Balken-Graph" [/mm] das offensichtlich erscheinen läßt":
Das, was man sieht, sollte eigentlich nicht (zu) umständlich in eine korrekte mathematische Sprache übersetzbar sein! Und in dieser Sprache muss dann jeder Schluss logisch nachvollziehbar sein:
Zum Beispiel zeigt der Graph doch folgende Idee:
""Scheinbar" gilt für jedes $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dass $x-[x] [mm] \in [0,1)\,.$" [/mm]
Wir lassen diesen Schein in einem neuen Glanz auftreten:
Sei $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Mit [mm] $k=k(x):=[x]=\max\{z \in \IZ: z \le x\}$ [/mm] folgt $k [mm] \le [/mm] x$ und $k [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Wir behaupten $x < [mm] k+1\,$: [/mm]
Wäre nämlich $x [mm] \ge k+1\,,$ [/mm] so müßte wegen $k+1 > k$ und $k+1 [mm] \in \IZ$ [/mm] dann $[x] [mm] \ge [/mm] k+1$ sein, also $[x]=k [mm] \ge [/mm] k+1 -$ was ja offensichtlicher Unfug und damit ein Widerspruch ist.
Also folgt $[x]=k [mm] \le [/mm] x < [mm] k+1=[x]+1\,.$ [/mm] Daraus insgesamt $0 [mm] \le [/mm] x-k=x-[x]  [mm] <1\,,$ [/mm] also die Behauptung.

Gruß,
  Marcel

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