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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] sei durch [mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{x^{3}y(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass f stetig ist. |
Hallo,
ich schaff's nicht, die Stetigkeit dieses Beispiels zu beweisen. Folgende Lösungswege habe ich ausgearbeitet:
1)
[mm] x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\ge0
[/mm]
[mm] x^{4}+y^{4}\ge|2x^{2}y^{2}| [/mm] (umgeformt)
2) [mm] |\bruch{x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}|\le|\bruch{x^{3}y}{2x^{2}y^{2}}|=\bruch{|x|}{2|y|}
[/mm]
Wenn ich nun versuche [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{|x|}{2|y|}*(x^{2}-y^{2}) [/mm] bzw. [mm] \limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)}\bruch{|x|}{2|y|}*(x^{2}-y^{2}) [/mm] bzw. [mm] \limes_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{|x|}{2|y|}*(x^{2}-y^{2}) [/mm] laufen zu lassen, dann bekomm ich überhaupt keine Stetigkeit raus.
Ich hab noch andre Lösungswege versucht, doch immer blieb |y| im Nenner, und der muss irgendwie weg, sonst kommt ja keine Stetigkeit raus. Und l'Hospital ... Darf man den hier verwenden? Und wenn ja, wie? Aber ich glaub, das Beispiel muss auch ohne l'Hospital gehen.
Anfangs hatte ich die Idee, den Zähler um ein y "irgendwie" zu erweitern, denn dann kürzt sich das y im Nenner weg. Nur muss ich, wenn ich dies tu, im Nenner erst wieder ein y beifügen.
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, h
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Di 24.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wegen [mm] |(x²-y²)/(x²+y²)|\le1 [/mm] (das siehst du indem du umformst und nachher die Dreiecksungleichung da sthen hast) folgt die Stetigkeit, da du ja mt xy³ multiplizierst, was ja gen 0 läuft und somit wegen obiger Abschätzung die Funktion für (x,y) gegen (0,0) gegen 0 läuft.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:54 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Braunstein |
Danke vorerst mal. Werd das gleich mal ausprobieren.
Gruß, h.
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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] sei durch [mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{x^{3}y(x^{2}-y^{2})}{x^{4}+y^{4}}, & (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass f stetig ist. |
Habe gerade bemerkt, dass im Nenner [mm] x^{4}+y^{4} [/mm] steht, und nicht, wie anfangs angegeben, [mm] x^{2}+y^{2}. [/mm] Habe kurz darauf versucht, das Beispiel nochmals durchzurechnen. Doch irgendwie wurde dadurch sogar alles komplizierter.
Kann man hier sicherlich nicht mit dem l'Hospital rechnen? Irgendeine Lösung muss es doch bestimmt gebn!
Freue mich auf eine antwort.
Gruß, h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mi 25.04.2007 | | Autor: | Braunstein |
Okay, Problem gelöst:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0/0)}f(x,y)
[/mm]
1) [mm] \limes_{(x,0)\rightarrow(0/0)}f(x,y)
[/mm]
2) [mm] \limes_{(0,y)\rightarrow(0/0)}f(x,y)
[/mm]
Man ersetze x bzw. y durch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (Nullfolge). Diese Nullfolge konvergiert gegen null. Der Grenzwert kann somit "eindeutig" berechnet werden.
--> http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~scheven/AnaII/Vorlesung/Vorl5-1.pdf
Trotzdem würden mich noch weitere Lösungswege interessieren.
Freue mich über ein paar Antworten.
Gruß, h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 27.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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