Stetigkeit bei f(x,y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Mo 11.01.2010 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] |
Hallo nochmal,
diesmal poste ich diese Aufgabe mit der absoluten gewissheit, dass ich diese nicht schon einmal reingestellt habe.
Diese Lösung hat der Prof. von mir ermittelt und ich kann diese leider nicht ganz nachfolziehen:
[mm] x_{k} [/mm] und [mm] y_{k} [/mm] sind belibig mit [mm] limes_{k\rightarrow\infty}(x_{k},y_{k}) [/mm] =(0,0)
z.Z.
[mm] limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k},y_{k}) [/mm] =0
[mm] limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k},y_{k}) [/mm] = [mm] \bruch{x_{k}^2y_{k}^2}{x_{k}^2+y_{k}^2}
[/mm]
dann teilt er den oberen Teil durch den unteren Teil und bekommt:
[mm] limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k},y_{k}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y_{k}^2}+\bruch{1}{x_{k}^2}} [/mm] = 0
Aber das kann ich nicht nachfolziehen, dann wenn die Punktfolgen 0 ergeben, eine Division durch 0 entstehen würde. Oder sehe ich das Falsch.
Danke schonmal für eure Mühe.
gruß
s3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
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> Hallo nochmal,
> diesmal poste ich diese Aufgabe mit der absoluten
> gewissheit, dass ich diese nicht schon einmal reingestellt
> habe.
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> Diese Lösung hat der Prof. von mir ermittelt und ich kann
> diese leider nicht ganz nachfolziehen:
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> [mm]x_{k}[/mm] und [mm]y_{k}[/mm] sind belibig mit
> [mm]limes_{k\rightarrow\infty}(x_{k},y_{k})[/mm] =(0,0)
>
> z.Z.
> [mm]limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k},y_{k})[/mm] =0
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> [mm]limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k},y_{k})[/mm] =
> [mm]\bruch{x_{k}^2y_{k}^2}{x_{k}^2+y_{k}^2}[/mm]
>
> dann teilt er den oberen Teil durch den unteren Teil und
> bekommt:
>
> [mm]limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k},y_{k})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y_{k}^2}+\bruch{1}{x_{k}^2}}[/mm] = 0
Das kann der Prof. aber nicht machen, denn es kann sein, dass für gewisse k das Folgenglied [mm] x_k [/mm] = 0 ist, oder das Folgenglied [mm] y_k [/mm] = 0 ist.
Überzeuge Dich davon, dass
$|f(x,y)| [mm] \le x^2+y^2$
[/mm]
ist.
Hilft das ?
FRED
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> Aber das kann ich nicht nachfolziehen, dann wenn die
> Punktfolgen 0 ergeben, eine Division durch 0 entstehen
> würde. Oder sehe ich das Falsch.
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> Danke schonmal für eure Mühe.
>
> gruß
> s3
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