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| Aufgabe | | Satz: Sei f : [mm] \IR\supset [/mm] X -> [mm] \IR [/mm] stetig auf einer kompakten Menge X => [mm] \exists min_{x \in X} [/mm] f(x) und [mm] max_{x \in X} [/mm] f(x) |
Beweis von Skript:
-) f beschränkt
ANgenommen f nicht beschränkt -> exists Folge [mm] y_j [/mm] = [mm] f(x_j [/mm] ) von Punkten in f(x) mit [mm] |y_j [/mm] | > j.
Da X kompakt [mm] \exists x_j__k [/mm] -> [mm] x_0 \in [/mm] K
->(f stetiG) [mm] |f(x_j__k) [/mm] - [mm] f(x_0) [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] für k >= N
Wieso ist das nun ein wiederspruch??
-)
[mm] \exists sup_{x\in X} [/mm] f(x) =c
X kompakt -> [mm] \exists (x_n__k)_{n\in \IN} [/mm] mit lim [mm] x_n__k [/mm] = [mm] x_0 \in [/mm] X
[mm] sup_{x \in X} [/mm] f(x) [mm] \ge f(x_0) [/mm] = [mm] lim_{k>\infty} f(x_n__k) [/mm] >= [mm] lim_{k->\infty} [/mm] (supf(x)-1/n) = [mm] sup_{x \in X} [/mm] f(x)
c= [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] max_{x\in X} [/mm] f(x)
Frage: [mm] lim_{k>\infty} f(x_n__k) [/mm] >= [mm] lim_{k->\infty} [/mm] (supf(x)-1/n)
Warum gilt das=?
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Hallo,
> Satz: Sei f : [mm]\IR\supset[/mm] X -> [mm]\IR[/mm] stetig auf einer
> kompakten Menge X => [mm]\exists min_{x \in X}[/mm] f(x) und [mm]max_{x \in X}[/mm]
> f(x)
> Beweis von Skript:
>  f beschränkt
> ANgenommen f nicht beschränkt -> exists Folge [mm]y_j[/mm] = [mm]f(x_j[/mm]
> ) von Punkten in f(x) mit [mm]|y_j[/mm] | > j.
> Da X kompakt [mm]\exists x_j__k[/mm] -> [mm]x_0 \in[/mm] K
> ->(f stetiG) [mm]|f(x_j__k)[/mm] - [mm]f(x_0)[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm] für k >= N
> Wieso ist das nun ein wiederspruch??
Weil die letzte Aussage bedeutet, dass [mm] $f(x_{j_k})$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] N$ in der Nähe von [mm] $f(x_0)$ [/mm] ist. Aber [mm] $f(x_0)$ [/mm] ist fest, und nach Voraussetzung wird [mm] $|f(x_{j_k})| \ge j_k$ [/mm] immer größer. Es für genügend großes $k$ hat es sicher mehr als Abstand [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu [mm] $f(x_0)$.
[/mm]
Mathematisch: Wähle bei der letzten Aussage [mm] $\varepsilon [/mm] = 1$. Dann folgt
[mm] $\forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N: [mm] f(x_0) [/mm] - 1 [mm] \le f(x_{j_k}) \le f(x_0) [/mm] + 1$
und somit
[mm] $\forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] N: [mm] |f(x_{j_k})| \le \max(|f(x_0) [/mm] - 1|, [mm] |f(x_0) [/mm] + 1|)$ <-- endlicher Ausdruck.
Widerspruch zu [mm] $|f(x_{j_k})| \ge j_k \to \infty$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
> -)
> [mm]\exists sup_{x\in X}[/mm] f(x) =c
> X kompakt -> [mm]\exists (x_n__k)_{n\in \IN}[/mm] mit lim [mm]x_n__k[/mm] =
> [mm]x_0 \in[/mm] X
> [mm]sup_{x \in X}[/mm] f(x) [mm]\ge f(x_0)[/mm] = [mm]lim_{k>\infty} f(x_n__k)[/mm]
> >= [mm]lim_{k->\infty}[/mm] (supf(x)-1/n) = [mm]sup_{x \in X}[/mm] f(x)
> c= [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]max_{x\in X}[/mm] f(x)
>
> Frage: [mm]lim_{k>\infty} f(x_n__k)[/mm] >= [mm]lim_{k->\infty}[/mm]
> (supf(x)-1/n)
> Warum gilt das=?
Das gilt nicht ohne Weiteres. (Zumal da irgendwas mit dem Limes nicht hinkommen kann, der hat [mm] $k\to\infty$, [/mm] aber die Folge ist 1/n). Man muss die Folge zu Beginn mit so einer Eigenschaft wählen.
Die Idee zu Beginn des Beweises ist, dass man wegen [mm] $\sup_{x\in X} [/mm] f(x) = x$ eine Folge [mm] $(x_n) \subset [/mm] X$ erhält mit [mm] $f(x_n) \to [/mm] c = [mm] \sup_{x\in X}f(x)$. [/mm] Man darf hierbei die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] sogar so wählen, dass [mm] $f(x_n) \ge [/mm] c - [mm] \frac{1}{n}$. [/mm]
(Weil $c = [mm] \sup_{x\in X}f(x)$ [/mm] Supremum ist, muss es zwischen $c$ und $c - [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] noch Werte $f(x)$ geben).
Es folgt dann sogar [mm] $f(x_{n_k}) \ge [/mm] c - [mm] \frac{1}{n_k}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Fr 08.02.2013 | | Autor: | theresetom |
Wow , danke ;)
Ganz liebe Grüße
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