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Stetigkeit an Polstelle: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:33 Di 06.10.2020
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Im Skript steht:
a)  Die (echt) gebrochen-rationalen Funktionen

     f(x) = 1/(x + 3)  und  f(x) = (2x - [mm] 1)/(x^2-1) [/mm]

weisen an den Stellen x0 = -3  bzw.  x1 = -1 und x2 = 1  Polstellen auf, sind jedoch trotzdem stetig.

b)  Die (unecht) gebrochen-rationale Funktion

     f(x) = [mm] (x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + x - 1)/(x - 1)

ist für  x0 = 1  nicht definiert, besitzt also in  x0 = 1  eine einpunktige Definitionslücke (dies ist jedoch keine Polstelle). Es gilt:

lim     f(x) = lim     f(x) = 2        (lim von links  und  lim von rechts gegen 1)
x->1-          x->1+

Damit ist die Funktion stetig.

a) Nach meiner Kenntnis sind Funktionen in den Polstellen nicht stetig.

b)  Nach meiner Kenntnis ist eine Funktion in einer hebbaren Definitionslücke    stetig fortsetzbar, aber nicht stetig.

        
Bezug
Stetigkeit an Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:24 Mi 07.10.2020
Autor: Fulla

Hallo Mathemurmel,

Stetigkeit wird zunächst als "stetig an der Stelle [mm] $x_0$" [/mm] definiert (wichtig: [mm] $x_0$ [/mm] ist Element des Definitionsbereichs!).
Eine Funktion heißt dann "stetig", wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Lies am besten mal diese beiden Definitionen in deinem Skript nach.

Die von dir genannten Funktionen haben alle Definitionslücken, d.h. an diesen Stellen können sie gar nicht stetig sein.
Man kann aber überprüfen, wie sie sich nahe an diesen Stellen verhalten. (Gemäß der Definition von "steig an der Stelle [mm] $x_0$"). [/mm]

Polstellen und stetig hebbare Definitionslücken sind damit kein Problem - nur Sprungstellen machen eine Funktion nicht stetig (auf ihrem gesamten Definitionsbereich).

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit an Polstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Mi 07.10.2020
Autor: fred97


> Im Skript steht:

Vorweg: was im Skript zu den Funktionen unten steht ist schlecht , bzw. falsch formuliert.


>   a)  Die (echt) gebrochen-rationalen Funktionen
>  
> f(x) = 1/(x + 3)  und  f(x) = (2x - [mm]1)/(x^2-1)[/mm]
>
> weisen an den Stellen x0 = -3  bzw.  x1 = -1 und x2 = 1  
> Polstellen auf, sind jedoch trotzdem stetig.

Puuh !

Die Funktion f(x)=1/(x+3) hat den Definitionsbereich $D= [mm] \IR \setminus \{-3\}.$ [/mm]  f ist in jedem Punkt aus D stetig. Von Stetigkeit oder Unstetigkeit von f in [mm] x_0=-3 [/mm] zu reden ist völlig unsinnig. Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Funktion in einem Punkt ist nur sinnvoll, wenn dieser Punkt zum Def. bereich der Funktion gehört.

Die Funktion $f(x) = (2x -  [mm] 1)/(x^2-1) [/mm] $ hat den Definitionsbereich [mm] $D=\IR \setminus \{-1,1\}.$ [/mm] f ist in allen Punkten von D stetig. Die Frage nach der Stetigkeit in $ [mm] \pm [/mm] 1$ ist wieder sinnlos.



>  
> b)  Die (unecht) gebrochen-rationale Funktion
>  
> f(x) = [mm](x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] + x - 1)/(x - 1)
>  
> ist für  x0 = 1  nicht definiert, besitzt also in  x0 = 1  
> eine einpunktige Definitionslücke (dies ist jedoch keine
> Polstelle). Es gilt:
>  
> lim     f(x) = lim     f(x) = 2        (lim von links  und  
> lim von rechts gegen 1)
>  x->1-          x->1+
>  
> Damit ist die Funktion stetig.

Auch das ist nicht ganz korrekt. f hat zunächst den Def. bereich [mm] $\IR \setminus \{1\}.$ [/mm]


Setzt man die se Funktion fort durch f(1):=2, so ist diese Fortsetzung auf [mm] \IR [/mm] stetig.



>  a) Nach meiner Kenntnis sind Funktionen in den Polstellen
> nicht stetig.
>  
> b)  Nach meiner Kenntnis ist eine Funktion in einer
> hebbaren Definitionslücke    stetig fortsetzbar, aber
> nicht stetig.


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