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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Ist
[mm] f(x)=\begin{cases} 2xcos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases} [/mm]
im Nullpunkt stetig ? |
Also ich bin wie folgt vorgegangen:
Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge mit [mm] x_n\to0,
[/mm]
Dann muss:
[mm] \limes_{x_n\rightarrow0}2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n})=0 [/mm] sein.
Aber:
[mm] 2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n})\le2x_n+1 \to [/mm] 1
Also wäre hier der grenzwert bereits [mm] \not= [/mm] 0, also kann die Funktion doch garnicht im 0 Punkt stetig sein.
Reicht das als antwort, bzw. kann man das so machen ?
Ich bin mir bei der Abschätzung unsicher, obwohl cosinus und sinus durch 1 bzw. -1 beschränkt sind.
Ansonsten weiß ich nicht, wie ich mit [mm] sin(\bruch{1}{x_n} [/mm] verfahren sollte.
Lg. :)
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Hallo Frosch,
stimmt die Aufgabe wirklich so?
> Ist
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 2xcos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\
0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}[/mm]
fehlt hier nicht noch ein Satzende, etwa "...stetig in x=0?"
> Also ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> Sei [mm]x_n[/mm] eine Folge mit [mm]x_n\to0,[/mm]
>
> Dann muss:
>
> [mm]\limes_{x_n\rightarrow0}2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n})=0[/mm]
> sein.
...damit die Funktion in x=0 stetig ist, jo.
> Aber:
>
> [mm]2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n})\le2x_n+1 \to[/mm] 1
Das stimmt nicht, für [mm] x_n\to{0}. [/mm] Der erste Summand (mit cos) konvergiert gegen 0, der zweite Summand konvergiert überhaupt nicht.
> Also wäre hier der grenzwert bereits [mm]\not=[/mm] 0, also kann
> die Funktion doch garnicht im 0 Punkt stetig sein.
Man kann nicht sagen, dass der Grenzwert [mm] \not=0 [/mm] ist, er existiert nämlich nicht.
> Reicht das als antwort, bzw. kann man das so machen ?
>
> Ich bin mir bei der Abschätzung unsicher, obwohl cosinus
> und sinus durch 1 bzw. -1 beschränkt sind.
>
> Ansonsten weiß ich nicht, wie ich mit [mm]sin(\bruch{1}{x_n}[/mm]
> verfahren sollte.
Zeige, dass es für [mm] x_n\to0 [/mm] nicht konvergiert. Eine Abschätzung ist dafür nicht nötig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo Frosch,
>
> stimmt die Aufgabe wirklich so?
>
> > Ist
> >
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 2xcos(\bruch{1}{x})+sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\
0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}[/mm]
>
> fehlt hier nicht noch ein Satzende, etwa "...stetig in
> x=0?"
Jup, da haben sie recht. Ich werde es editieren :)
> > Also ich bin wie folgt vorgegangen:
> >
> > Sei [mm]x_n[/mm] eine Folge mit [mm]x_n\to0,[/mm]
> >
> > Dann muss:
> >
> >
> [mm]\limes_{x_n\rightarrow0}2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n})=0[/mm]
> > sein.
>
> ...damit die Funktion in x=0 stetig ist, jo.
>
> > Aber:
> >
> > [mm]2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n})\le2x_n+1 \to[/mm] 1
>
> Das stimmt nicht, für [mm]x_n\to{0}.[/mm] Der erste Summand (mit
> cos) konvergiert gegen 0, der zweite Summand konvergiert
> überhaupt nicht.
>
> > Also wäre hier der grenzwert bereits [mm]\not=[/mm] 0, also kann
> > die Funktion doch garnicht im 0 Punkt stetig sein.
>
> Man kann nicht sagen, dass der Grenzwert [mm]\not=0[/mm] ist, er
> existiert nämlich nicht.
>
> > Reicht das als antwort, bzw. kann man das so machen ?
> >
> > Ich bin mir bei der Abschätzung unsicher, obwohl cosinus
> > und sinus durch 1 bzw. -1 beschränkt sind.
> >
> > Ansonsten weiß ich nicht, wie ich mit [mm]sin(\bruch{1}{x_n}[/mm]
> > verfahren sollte.
>
> Zeige, dass es für [mm]x_n\to0[/mm] nicht konvergiert. Eine
> Abschätzung ist dafür nicht nötig.
>
> Grüße
> reverend
>
Reicht es wenn ich sage:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Wegen der Stetigkeit der Sinus Funktion gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} sin(\bruch{1}{x})= sin(\limes_{x\rightarrow0} \bruch{1}{x})
[/mm]
Und es gilt [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Also kann es nicht konvergieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo Frosch,
gib am besten für [mm] x_{n} [/mm] eine konkrete Folge an die zwar gegen 0 konvergiert, für die der Grenzwert [mm] \limes_{x_n\rightarrow0}2x_ncos(\bruch{1}{x_n})+sin(\bruch{1}{x_n}) [/mm] allerdings ungleich null ist. Ich würde mal [mm] x_{n}=\bruch{2}{n\pi} [/mm] versuchen.
Gruß Rubikon
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