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Stetigkeit Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Fr 16.10.2009
Autor: Limaros

Aufgabe
Sei f: [1, [mm] \infty[ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(x)=-\wurzel{x-1}-1. [/mm] Zeigen Sie mithilfe des [mm] \epsilon-\delta-Kriteriums, [/mm] daß f für [mm] x_0>1 [/mm] stetig ist.

Solche Standardaufgaben bereiten mit leider immer wieder Probleme... Also, erst das Kriterium:

f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig, wenn es für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] derart gibt, daß für alle x mit [mm] \left|x-x_0\right|<\delta [/mm] gilt, daß [mm] \left|f(x)-f(x_0)\right|<\epsilon. [/mm]

Sei also [mm] x_0>1, \epsilon>0. [/mm] Setze ich in [mm] \left|f(x)-f(x_0)\right|<\epsilon [/mm] entsprechend ein und vereinfache, dann komme ich auf

[mm] \left|\frac{x_0-x}{\wurzel{x_0-1}+\wurzel{x-1}}\right|<\epsilon [/mm]

Da [mm] \left|x_0-x\right|=\left|x-x_0\right|<\delta [/mm] denke ich, daß das bis dahin ganz gut ist...

Jetzt geht's dann aber nicht mehr weiter. Ich denke, jetzt müßte man ein [mm] \delta [/mm] definieren und dann eben nachweisen, daß mich diesem [mm] \delta [/mm] dann das Kriterium gilt.

Also Frage: Bis hierher okay und wenn ja, wie weiter?!? Danke im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stetigkeit Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Fr 16.10.2009
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hilft Dir das:

            

$ \left|\frac{x_0-x}{\wurzel{x_0-1}+\wurzel{x-1}}\right|<  \left|\frac{x_0-x}{\wurzel{x_0-1}\right|$


?

FRED

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Sa 17.10.2009
Autor: Limaros

Hi Fred!

Also, ich würde ja jetzt gerne "JA" schreiben, aber leider ist die Wahrheit "NEIN". Die Ungleichung verstehe ich, aber ich  merke, daß ich noch keine richtige "Denkstrategie" habe, wo ich eigentlich hin will... Vielleicht wäre noch ein weiterer Tipp gut...

Dezent verzweifelte Grüße... und Danke im voraus...

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit Wurzelfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Sa 17.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Limaros,

> Hi Fred!
>  
> Also, ich würde ja jetzt gerne "JA" schreiben, aber leider
> ist die Wahrheit "NEIN". Die Ungleichung verstehe ich, aber
> ich  merke, daß ich noch keine richtige "Denkstrategie"
> habe, wo ich eigentlich hin will... Vielleicht wäre noch
> ein weiterer Tipp gut...

Na, schreibe doch mal weiter auf:

Du willst doch dein [mm] $\delta>0$ [/mm] derart konstruieren, dass für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] die Ungl. [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ [/mm] gilt (bei bel. vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm]

[mm] $\delta$ [/mm] darf von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen!

Nun haben wir in dieser Nebenrechnung:

[mm] $|f(x)-f(x_0)|=...<\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0-1}}$ [/mm]

Nun weiter [mm] $<\frac{\delta}{\sqrt{x_0-1}}$ [/mm]

Und das soll schließlich [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein.

Also [mm] $\frac{\delta}{\sqrt{x_0-1}}\overset{!}{<}\varepsilon$ [/mm]

Das löse nun mal nach [mm] $\delta$ [/mm] auf, dann hast du es konstruiert.

Dann schreibe den Beweis schön in der richtigen Reihenfolge auf:

"Sei [mm] $x_0>1$ [/mm] bel. und [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $\delta [/mm] \ ...$, dann gilt für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$: [/mm]

Dann schön die Abschätzungskette

>  
> Dezent verzweifelte Grüße... und Danke im voraus...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit Wurzelfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Sa 17.10.2009
Autor: Limaros

Hi!

Danke! Ja, wenn ich 's noch zehnmal durchexerziere dann kann ich's irgendwann allein...

Also müßte in dem Fall [mm] \delta<\wurzel{x_0-1}\epsilon [/mm] sein?

Jetzt würde ich gerne noch den Unterschied zur gleichmäßigen Stetigkeit verstehen. Also, eigentlich sollte f ja auch gleichmäßig stetig sein... Also nochmal die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit: Für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] so daß für alle x,y >1 mit [mm] \left|x-y\right|<\delta [/mm] gilt [mm] \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon. [/mm] Richtig?

Wenn ich den entsprechenden Ansatz mache, dann komme ich bis

[mm] \left|\frac{y-x}{\wurzel{y-1}+\wurzel{x-1}}\right|<\epsilon [/mm]

Jetzt müßte ich ja [mm] \delta [/mm] so bestimmen, daß es nur noch von [mm] \epsilon [/mm] abhängt, also x und y loswerden, oder? Wie geht das weiter...?



Bezug
                                        
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Stetigkeit Wurzelfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 So 18.10.2009
Autor: Ralf1007

Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass in für alle x,y dasgleiche [mm] \varepsilon [/mm] gilt, also darf das [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen, nicht aber vom speziellen Punkt.

Anders gesprochen: Wähle ich zwei Punkte x und y, deren Abstand kleiner als [mm] \delta [/mm] ist, so muss sich auch der Abstand zwischen den Funktionswerten durch ein [mm] \varepsilon [/mm] begrenzen lassen.

Bis hierhin sollte alles noch stimmen, allerdings ist der Rest meines Beitrags natürlich Unsinn gewesen. Ich weiß selber nicht, was mich da geritten hat und bitte um Verzeihung. Ich habe die fehlerhafte Aussage entfernt.
Gruß,

Ralf

Bezug
                                                
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Stetigkeit Wurzelfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Mo 19.10.2009
Autor: Limaros

Hi,

ja, sieht gut aus... Danke an alle und irgendwann wird sich auch in meinem Hirn der Analysis-Dschungel lichten...

Bezug
                                                
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Stetigkeit Wurzelfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:19 Mo 19.10.2009
Autor: fred97


> Gleichmäßige Stetigkeit bedeutet, dass in für alle x,y
> dasgleiche [mm]\varepsilon[/mm] gilt, also darf das [mm]\delta[/mm] nur von
> [mm]\varepsilon[/mm] abhängen, nicht aber vom speziellen Punkt.
>  
> Anders gesprochen: Wähle ich zwei Punkte x und y, deren
> Abstand kleiner als [mm]\delta[/mm] ist, so muss sich auch der
> Abstand zwischen den Funktionswerten durch ein [mm]\varepsilon[/mm]
> begrenzen lassen.
>  
> In dem Fall meine ich, dass man folgendes machen kann:
>  
> [mm]\left | \bruch{y-x}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm]
> < [mm]\left | \bruch{\delta}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm]
> < [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Und fertig.

So, so ....

die Ungleichung

            [mm]\left | \bruch{\delta}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm]  < [mm]\delta[/mm]


ist doch völliger Quatsch ! Aus ihr würde folgen

              [mm]\left | \bruch{1}{\wurzel[]{y-1}+\wurzel[]{x-1}} \right|[/mm]  < [mm]1[/mm]


Ist a>0 und x=y=1+a, so würde folgen: $1/4<a$

FRED



>  
> Gruß,
>  
> Ralf


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Stetigkeit Wurzelfunktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 09:34 Mo 19.10.2009
Autor: angela.h.b.

s. Freds Hinweis.

Gruß v. Angela

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Stetigkeit Wurzelfunktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:20 Di 20.10.2009
Autor: Limaros

Also nächster Versuch...: Ich muß ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so daß [mm] \left|f(x)-f(y)\right<\epsilon [/mm] ist für alle x,y. Dann müßte ich doch in meinem Ansatz x und y "loswerden..." Frage: Wie geht das oder ist der Ansatz grundsätzlich falsch???


Bezug
                                                        
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Stetigkeit Wurzelfunktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 27.10.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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