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Stetigkeit & Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Di 14.06.2005
Autor: Adele

Huhu zusammen !

Ich sitze gerade an meinem Analysis I Übungsblatt und komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Stetigkeit bzw. Grenzwerte sind irgendwie nicht so mein Ding.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir dabei jemand behilflich sein könnte.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Die Aufgabe lautet:
1. Lässt sich die Funktion f : [mm] \IR [/mm] \ {1}  [mm] \to \IR [/mm] mit
f(x) :=  [mm] \bruch{| x - 1 | (x - 1)}{x² - 2x + 1} [/mm]
an der Stelle x = 1 stetig ergänzen?

2. Berechnen sie die Grenzwerte (a  [mm] \not= [/mm] 0):
a.  [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(ax)}{x} [/mm]
b.  [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{n} - a^{n}}{x - a} [/mm]

Es wäre echt super, wenn mir dabei jemand helfen könnte.

Liebe Grüße,
Adele
        
Bezug
Stetigkeit & Grenzwert: Grenzwerte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Di 14.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Adele!


Wie sieht's denn mit eigenen Lösungsansätzen aus?

Daher nur ein/zwei kurze Tipps ...


> 2. Berechnen sie die Grenzwerte (a  [mm]\not=[/mm] 0):
> a.  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(ax)}{x}[/mm]

MBGrenzwertsatz von de l'Hospital anwenden.



> b.  [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{n} - a^{n}}{x - a}[/mm]

Entweder ebenfalls MBGrenzwertsatz von de l'Hospital oder aber mal eine MBPolynomdivision durchführen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit & Grenzwert: Stetigkeit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Di 14.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo ...


> 1. Lässt sich die Funktion f : [mm]\IR[/mm] \ {1}  [mm]\to \IR[/mm] mit
> f(x) :=  [mm]\bruch{| x - 1 | (x - 1)}{x² - 2x + 1}[/mm]  an der Stelle x = 1 stetig ergänzen?

[aufgemerkt] Tipp: Nenner faktorisieren, "evtl." kürzen und anschließend Fallunterscheidung durchführen $x-1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$  bzw.  $x-1 \ < \ 0$ ; nun kann man nochmals kürzen und ... fertig!


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Stetigkeit & Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 Di 14.06.2005
Autor: Adele

Danke für die schnellen Tips, werde gleich mal versuchen wie weit ich damit nun komme.

Liebe Grüße,
Adele
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Stetigkeit & Grenzwert: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Di 14.06.2005
Autor: Adele

Oki, ich hab das jetzt mal versucht und bekomme beim ersten Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(ax)}{x} [/mm] für den Fall a > 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] a * cos(ax) [mm] \to [/mm] 1
und für den Fall a < 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] a * cos(ax) [mm] \to [/mm] -1
raus, stimmt das so?

Beim zweiten Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{n}-a^{n}}{x-a} [/mm] komm ich allerdings immer noch nicht weiter. Bleibe da bei [mm] \limes_{x\rightarrow a} n*x^{n-1} [/mm] stehen, kommt mir aber komisch vor.

Und bei der Stetigkeit:
f(x) = [mm] \bruch{|x-1| (x-1)}{x²-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{|x-1|(x-1)}{(x-1)²} [/mm] = [mm] \bruch{|x-1|}{(x-1)} [/mm]
1. Fall: x-1  [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \bruch{x-1}{x-1} [/mm] = 1

2.Fall: x-1 < 0
[mm] \bruch{-x+1}{x-1} [/mm] = -1

Und was fang ich dann damit an?

Liebe Grüße,
Adele
Bezug
                
Bezug
Stetigkeit & Grenzwert: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Di 14.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Adele!


> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(ax)}{x}[/mm] für den Fall a > 0
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] a * cos(ax) [mm]\to[/mm] 1
> und für den Fall a < 0
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] a * cos(ax) [mm]\to[/mm] -1
> raus, stimmt das so?

[notok] Die Fallunterscheidung für a ist nicht erforderlich!

Aber beim Grenzwert hast Du Dich etwas vertan:

[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\sin(ax)}{x} \ = \ \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{a*\cos(ax)}{1} \ = \ a*\cos(0) \ = \ a*1 \ = \ a [/mm]





> Beim zweiten Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{x^{n}-a^{n}}{x-a}[/mm]
> komm ich allerdings immer noch nicht weiter. Bleibe da bei
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} n*x^{n-1}[/mm] stehen, kommt mir aber komisch vor.

[ok] Ist aber okay! Nun einfach Grenzwertbetrachtung, sprich: für $x \ = \ a$ einsetzen!

Was erhältst Du?





> Und bei der Stetigkeit:
> f(x) = [mm]\bruch{|x-1| (x-1)}{x²-2x+1}[/mm] = [mm]\bruch{|x-1|(x-1)}{(x-1)²}[/mm] = [mm]\bruch{|x-1|}{(x-1)}[/mm]
> 1. Fall: x-1  [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]\bruch{x-1}{x-1}[/mm] = 1
>  
> 2.Fall: x-1 < 0
> [mm]\bruch{-x+1}{x-1}[/mm] = -1

[daumenhoch]


> Und was fang ich dann damit an?

Sind denn nun der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert für $x [mm] \rightarrow [/mm] 1$ gleich?

Was folgt daraus für die Stetigkeit an dieser Stelle?


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                        
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Stetigkeit & Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Di 14.06.2005
Autor: Adele

Dankeschön für die schnelle Antwort.
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