Stetigkeit Epsilon-Delta-Krit. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tathy |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende reellwertige Funktion auf Stetigkeit im Punkt [mm] x_{0}=-3 [/mm] mit Hilfe des [mm] \varepsilon-\delta-Kriteriums [/mm] und begründen Sie ihr Ergebnis.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^{2}+6x+9}{x+3}, & \mbox{für } x\not=-3 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=-3 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
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Guten Morgen!
Ich soll diese Aufgabe lösen.
Den ersten Term [mm] \bruch{x^{2}+6x+9}{x+3} [/mm] könnte ich doch zusammenfassen:
[mm] \bruch{x^{2}+6x+9}{x+3} [/mm] = [mm] \bruch{(x+3)^{2}}{x+3}=x+3.
[/mm]
Damit hätte ich dann die Definitionslücke behoben und die Funktion wäre stetig, denn sowohl [mm] h_{1}(x)=-3+3=0 [/mm] und [mm] h_{2}=0.
[/mm]
Aber wie beweise ich das Ganze jetzt mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] ?
Ich beginne mal:
[mm] |x-x_{0}|=|x+3|<\delta
[/mm]
und nun weiß ich aber nicht wie ich [mm] |f(x)-f(x_{0}| [/mm] berechnen soll, weil ich bei [mm] x_{0}=-3 [/mm] ja diese Definitionslücke habe. Darf ich da einfach den Term mit der behobenen Def.lücke einsetzten?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Tathy
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> Untersuchen Sie folgende reellwertige Funktion auf
> Stetigkeit im Punkt [mm]x_{0}=-3[/mm] mit Hilfe des
> [mm]\varepsilon-\delta-Kriteriums[/mm] und begründen Sie ihr
> Ergebnis.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x^{2}+6x+9}{x+3}, & \mbox{für } x\not=-3 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=-3 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Aber wie beweise ich das Ganze jetzt mit dem
> [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm] ?
> Ich beginne mal:
Hallo,
sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] \delta:=... [/mm] (das kannst Du Dir später überlegen.)
Sei nun [mm] x\in \IR [/mm] \ [mm] \{-3\} [/mm] mit
> [mm]|x-x_{0}|=|x+3|<\delta[/mm].
Dann ist
> [mm][mm] |f(x)-f(x_{0}|
[/mm]
=| f(x)-f(-3)|=|f(x)|=|x+3|< ...
(Für x=-3 hat man natürlich sowieso [mm] |f(-3)-f(-3)|=0<\varepsilon. [/mm] )
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tathy |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort. Laut unserer Definition muss es zu jeder (beliebig kleinen) Größe [mm] \varepsilon> [/mm] 0 eine (genügend kleine) Größe [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, damit die Funktion stetig ist.
Mit [mm] |x+3|<\delta [/mm] und [mm] |x-3|<\varepsilon, [/mm] habe ich ja dann [mm] \delta=\varepsilon, [/mm] oder?
Das heißt, dass für jede beliebig kleine [mm] \delta [/mm] auch [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein ist. Und da [mm] \delta [/mm] in diesem Fall nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt, ist die Funktion sogar gleichmäßig stetig in ganz [mm] \IR.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Grüße
Tathy
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> Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort. Laut unserer Definition muss
> es zu jeder (beliebig kleinen) Größe [mm]\varepsilon>[/mm] 0 eine
> (genügend kleine) Größe [mm]\delta[/mm] > 0 gibt, damit die Funktion
> stetig ist.
> Mit [mm]|x+3|<\delta[/mm] und [mm] |x-3|<\varepsilon,
[/mm]
Hallo,
wieso denn "minus" ?
> habe ich ja dann
> [mm]\delta=\varepsilon,[/mm] oder?
Naja, Du "hast" das nicht, sondern Du siehst, daß Du [mm] \delta [/mm] so wählen kannst.
> Das heißt, dass für jede beliebig kleine [mm]\delta[/mm] auch
> [mm]\varepsilon[/mm] beliebig klein ist.
Nein. Das [mm] \varepsilon [/mm] war zuerst da. [mm] \varepsilon [/mm] setzt die Maßstäbe.
Wenn Du [mm] \delta:=\varepsilon [/mm] wählst (oder z.B. [mm] \delta:=\bruch{3}{4}\varepsilon),
[/mm]
so bleiben die Funktionswerte der x, die nicht weiter als [mm] \delta [/mm] von der Stelle [mm] x_0=-3 [/mm] entfernt sind, schon brav in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von f(-3)=0.
> Und da [mm]\delta[/mm] in diesem
> Fall nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängt, ist die Funktion sogar
> gleichmäßig stetig in ganz [mm]\IR.[/mm]
> Stimmt das soweit?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Sa 18.10.2008 | | Autor: | tathy |
Vielen Dank für die Antwort. Das mit dem Minus war ein Tippfehler. Ich denke ich habe es jetzt verstanden 
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