Stetigkeit, Differenzierbarkei < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir bemerken dass Differenzierbarkeit wesentlich stärker als Stetigkeit ist. Eine Funktion f ist stetig im Punkt x [mm] \in [/mm] (a,b), wenn [mm] lim_{h->0} [/mm] f(x+h) - f(x)=0 ist. Wenn f differenzierbar im Punkt x ist, so gilt sogar dass ein C >0 gibt sodass |f(x+h) - f(x)| < C |h| für kleine h ist: Da lim [mm] \frac{R(h)}{h}=0 [/mm] ist sehen wir , dass es ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt mit
[mm] |\frac{R(h)}{h}| [/mm] < 1
Dann ist |f(x+h) -f(x)| [mm] \le (|\lambda| [/mm] +1)|h| für |h| < [mm] \delta
[/mm]
Def von vorher:
f:(a,b) -> [mm] \IR [/mm] ist differenzierbar in x [mm] \in [/mm] (a,b) genau dann wenn es eine Zahl [mm] \lambda \in \IR [/mm] sodass die durch
R(h) = f(x+h) - f(x)- [mm] \lambda [/mm] h,
für h [mm] \in (-\sigma,\sigma) [/mm] für ein [mm] \delta>0 [/mm] defenierte Funktion R die Eigenschaft hat, dass
[mm] lim_{h->0} \frac{R(h)}{h}=0
[/mm]
die Zahl [mm] \lambda [/mm] ist eindeutig bestimmt, und [mm] \lambda [/mm] =f'(x) |
Hallo,
Ich verstehe nicht:
> |f(x+h) -f(x)| [mm] \le (|\lambda| [/mm] +1)|h| für |h| < [mm] \delta
[/mm]
Wie kommt man darauf?
Liebe Grüße,
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] |\frac{R(h)}{h}| [/mm] $ < 1
folgt $|R(h)| [mm] \le [/mm] |h|$, also
$|f(x+h)-f(x)- [mm] \lambda [/mm] h| [mm] \le [/mm] |h|$
Dann ist
$|f(x+h)-f(x)|=|f(x+h)-f(x)- [mm] \lambda h+\lambda [/mm] h| [mm] \le [/mm] |f(x+h)-f(x)- [mm] \lambda [/mm] h|+| [mm] \lambda|*|h| \le [/mm] |h|+| [mm] \lambda|*|h| [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Do 25.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Vielen dank, genau das was ich wissen wollte ;))
Liebe Grüße
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