Stetigkeit <->Klumpentopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 So 31.10.2010 | | Autor: | Treden |
| Aufgabe | Seien X und Y beliebige Mengen. Zeigen Sie:
(a) Sei Od = PX die diskrete Topologie, und sei OK = {{}, Y } die Klumpentopologie.
Dann sind für jeden beliebigen topologischen Raum (Z,OZ) alle Abbildungen F : (X,Od) -> (Z,O) und alle Abbildungen G : (Z,O) -> (Y,OK) stetig.
(b) Seien OX, OY beliebige Topologien auf X und Y . Falls für jeden topologischen Raum (Z,O) alle Abbildungen F : (X,OX) -> (Z,O) und alle Abbildungen G : (Z,O) -> (Y,OY ) stetig sind, dann ist OX = Od die diskrete und OY = OK
die Klumpentopologie. |
Wie kann ich beweisen, dass aus der Stetigkeit aller Abbildungen zwischen topologischen Räumen folgt, dass der Grundraum die diskrete Topologie sein muss und andererseits aus der Stetigkeit aller Abbildungen zwischen topologischen Räumen folgt, dass der Zielraum die Klumpentopologie sein muss?
Mir fehlt bereits ein Ansatz dafür...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Mo 01.11.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Seien X und Y beliebige Mengen. Zeigen Sie:
> (a) Sei Od = PX die diskrete Topologie, und sei OK = {{},
> Y } die Klumpentopologie.
> Dann sind für jeden beliebigen topologischen Raum (Z,OZ)
> alle Abbildungen F : (X,Od) -> (Z,O) und alle Abbildungen G
> : (Z,O) -> (Y,OK) stetig.
> (b) Seien OX, OY beliebige Topologien auf X und Y . Falls
> für jeden topologischen Raum (Z,O) alle Abbildungen F :
> (X,OX) -> (Z,O) und alle Abbildungen G : (Z,O) -> (Y,OY )
> stetig sind, dann ist OX = Od die diskrete und OY = OK
> die Klumpentopologie.
> Wie kann ich beweisen, dass aus der Stetigkeit aller
> Abbildungen zwischen topologischen Räumen folgt, dass der
> Grundraum die diskrete Topologie sein muss und andererseits
> aus der Stetigkeit aller Abbildungen zwischen topologischen
> Räumen folgt, dass der Zielraum die Klumpentopologie sein
> muss?
Nimm mal in b) für Z die Menge X, für die Topologie die diskrete und als Abbildung die Identität.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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