Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Do 06.12.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \rightarrow \IR [/mm] stetig mit f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass es ein a [mm] \in \IR [/mm] existiert mit f(x) = ax (für alle x [mm] \in \IR).
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie dies nacheinander für x [mm] \in \IN_{0}, \IZ, \IQ. [/mm] Warum gilt dies dann sogar für alle x [mm] \in \IR? [/mm] |
Hallo,
ich soll bei dieser Aufgabe dann zeigen, dass diese Aussage "Sei [mm] f:\IR \rightarrow \IR [/mm] stetig mit f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y [mm] \in \IR" [/mm] auch für f(x)=ax gilt, oder?
Wenn ich jetzt die Hinweise beachte, soll ich dies dann zunächst einmal für [mm] \IN_{0}, \IZ, \IQ [/mm] und dann für [mm] \IR [/mm] zeigen?
mfg,
zjay
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Hallo
ich denke deine vermutung ist richtig.
zeige erst die existenz eines solchen a und dann prüfe den rest.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Do 06.12.2012 | | Autor: | Studiiiii |
Hallo
nochmal ich. Hab mich eben verlesen gehabt:
du musst die existenz von dem a zeigen, indem du die stetigkeit ausnutzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] stetig mit f(x+y)=f(x)+f(y) für
> alle x,y [mm]\in \IR.[/mm] Zeigen Sie, dass es ein a [mm]\in \IR[/mm]
> existiert mit f(x) = ax (für alle x [mm]\in \IR).[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie dies nacheinander für x [mm]\in \IN_{0}, \IZ, \IQ.[/mm]
> Warum gilt dies dann sogar für alle x [mm]\in \IR?[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll bei dieser Aufgabe dann zeigen, dass diese Aussage
> "Sei [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] stetig mit f(x+y)=f(x)+f(y) für
> alle x,y [mm]\in \IR"[/mm] auch für f(x)=ax gilt, oder?
Nein, das wäre ja trivial.
Voraussetzung ist:
[mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm] ist stetig und f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y [mm]\in \IR.[/mm] .
Zeigen sollst Du: es gibt ein a [mm] \in \IR [/mm] mit f(x)=ax für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Hinweise beachte, soll ich dies dann
> zunächst einmal für [mm]\IN_{0}, \IZ, \IQ[/mm] und dann für [mm]\IR[/mm]
> zeigen?
Für a gibt es , wenn Du Dein Ziel anschaust, nur eine Wahl: wir setzen a:=f(1)
Zeige nun induktiv: f(n)=an für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann zeigst Du: f(m)=am für alle m [mm] \in \IZ.
[/mm]
Als nächstes zeigst Du:
(*) f(r)=ar für alle r [mm] \in \IQ.
[/mm]
Bislang haben wir die Stetigkeit noch nicht benutzt. Die brauchst Du, wenn Du zeigen willst, dass aus (*) auch
f(x)=ax für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
folgt.
FRED
>
> mfg,
>
> zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 06.12.2012 | | Autor: | zjay |
a:=f(1)
Induktion:
IV: f(n)=an für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
IA:f(1)=a
IS: n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
f(n+1)=a(n+1)=an+a
die linke Seite f(n+1) wird umgeformt zu
f(n+1)=f(n)+f(1)=an+a
es gilt an+a=an+a.
wenn ich diesen Induktionsbeweis für x [mm] \in \IZ, \IQ [/mm] mache, kann ich dasselbe mit m und r machen.
Auf welchen Satz beziehst du dich hierbei:
Als nächstes zeigst Du:
(*) f(r)=ar für alle r [mm] \in \IQ. [/mm]
Bislang haben wir die Stetigkeit noch nicht benutzt. Die brauchst Du, wenn Du zeigen willst, dass aus (*) auch
f(x)=ax für alle x [mm] \in \IR [/mm]
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> a:=f(1)
>
> Induktion:
>
> IV: f(n)=an für alle n [mm]\in \IN[/mm]
Aua !!!! Wenn IV "Induktionsvoraussetzung" bei Dir bedeutet, so steht da oben Unfug.
Wenn ich voraussetze, dass f(n)=an für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt, so muß ich doch nix mehr beweisen !
Also: wie lautet die IV korrekt formuliert ?
>
> IA:f(1)=a
>
> IS: n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
>
> f(n+1)=a(n+1)=an+a
Das soll doch gezeigt werden !
>
> die linke Seite f(n+1) wird umgeformt zu
>
> f(n+1)=f(n)+f(1)=an+a
>
> es gilt an+a=an+a.
Na ja. Mach es so:
f(n+1)=f(n)+f(1)=an+a=a(n+1)
Übrigends solltes Du den Fall f(0) auch noch klaären.
>
> wenn ich diesen Induktionsbeweis für x [mm]\in \IZ, \IQ[/mm] mache,
> kann ich dasselbe mit m und r machen.
Hä , was meinst Du damit ?
>
> Auf welchen Satz beziehst du dich hierbei:
>
> Als nächstes zeigst Du:
>
> (*) f(r)=ar für alle r [mm]\in \IQ.[/mm]
Ich beziehe mich auf keinen Satz. (*) sollst Du zeigen.
FRED
>
> Bislang haben wir die Stetigkeit noch nicht benutzt. Die
> brauchst Du, wenn Du zeigen willst, dass aus (*) auch
>
> f(x)=ax für alle x [mm]\in \IR[/mm]
>
>
> mfg,
>
> zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 06.12.2012 | | Autor: | zjay |
okay, das war auch mein größtes Problem bei Induktionen ... die Induktionsvoraussetzung (IV) zu finden.
Ich halte mal kurz fest, was ich über die IV generell weiß: Es ist in der Regel eine Eigenschaft, die ich bereits weiß oder?
In diesem Fall wäre es a=f(1)
also sage ich
zu zeigen: f(n)=an für alle n [mm] \in \In
[/mm]
IV: a=f(1)
IA: für n=0 gilt
f(0)=a*0=0
(wie kann ich zeigen, dass diese Aussage wahr ist? Das einzige was mir einfällt (und es ist nicht allzu überzeugend) ist mit linearen Gleichungen:
f(n)=an erinnert stark an lineare Gleichungen. Da f(n) nicht auf der y-Achse verschoben ist, muss sie für f(0) durch den Ursprung gehen.)
IS:
n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
f(n+1)=a(n+1)
f(n)+f(1)=an+a
f(n)+a (wegen IV f(1)=a)=an+a
f(n)=an
q.e.d.
zu x [mm] \in \IZ [/mm]
muss ich bei diesen Fällen auch noch die Fälle berücksichtigen, dass x [mm] \in \IZ^{+} [/mm] und x [mm] \in \IZ^{-} [/mm] ist?
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Oh je,-.... Da liegt noch viel Arbeit vor uns.
Zur Induktion:
Sei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen. Wenn wir zeigen wollen, dass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] die Aussage A(n) wahr ist, gehen wir wie folgt vor:
1. Induktionsanfang: wir zeigen, dass A(1) wahr ist.
2. Induktionsvoraussetzung (IV) : sei n [mm] \in \IN [/mm] (fest) und A(n) war.
3. Induktionsschritt: zeige mit Hilfe der (IV), dass dann auch A(n+1) wahr ist.
Zu f(0)=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) =2f(0)
Zu x [mm] \in \IZ^{-}: [/mm] es ist -x [mm] \in \IN [/mm] und damit:
0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(x)+a(-x)=f(x)-ax,
also: f(x)=ax.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 06.12.2012 | | Autor: | zjay |
Ich glaub jetzt hab ich verstanden was du mit deinem Hinweis zur Induktionsvoraussetzung meintest. Der Ansatz war schon richtig, nur die Formulierung war falsch.
Also zu zeigen: f(n)=an mit n [mm] \in \IN
[/mm]
IA: für n=1
f(1)=a
ist eine wahre Aussage, da a:=f(1) aus der Aufgabenstellung folgt.
IV: Es sei für n [mm] \in \IN [/mm] f(n)=an eine wahre Aussage
IS: n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
f(n+1)=a(n+1)
f(n)+f(1)=an+a |IV:f(n)=an
an+f(1)=an+a |-an
f(1)=a ist eine wahre Aussagen.
q.e.d.
Was bringt es mir dies für f(0) zu zeigen:
Zu f(0)=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) =2f(0)
Muss ich dies extra zeigen, da x [mm] \in \IN_{0} [/mm] ist?
Stimmt dies erstmal so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaub jetzt hab ich verstanden was du mit deinem
> Hinweis zur Induktionsvoraussetzung meintest. Der Ansatz
> war schon richtig, nur die Formulierung war falsch.
>
>
> Also zu zeigen: f(n)=an mit n [mm]\in \IN[/mm]
>
> IA: für n=1
>
> f(1)=a
>
> ist eine wahre Aussage, da a:=f(1) aus der Aufgabenstellung
> folgt.
das folgt nicht aus der Aufgabenstellung, sondern: DU hast $a:=f(1)$
gesetzt und zeigst nun, dass diese Wahl für [mm] $a\,$ [/mm] auch "taugt"!
> IV: Es sei für n [mm]\in \IN[/mm] f(n)=an eine wahre Aussage
Es gelte also [mm] $f(n)=a*n\,$ [/mm] für $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
> IS: n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
>
> f(n+1)=a(n+1)
Da willst Du hin!! Und da kommst Du nicht her - aber so, wie Du es
notierst, sieht es eher so aus, als wenn Du diese Aussage einfach als wahr
annimmst...
>
> f(n)+f(1)=an+a |IV:f(n)=an
>
> an+f(1)=an+a |-an
>
> f(1)=a ist eine wahre Aussagen.
So, wie Du es aufschreibst, ist das doch falsch herum: Was Du machst, ist
folgendes, ich erläutere es mal ein wenig allgemeiner:
Wir wollen zeigen, dass eine Aussage [mm] $B\,$ [/mm] gilt. Du rechnest nun rum und
schreibst am Ende: "Also gilt [mm] $A\,.$" ($A\,$ [/mm] ist dabei eine bereits bekannte
Aussage, von der wir wissen, dass sie gilt.)
Also beweist Du "$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$" - ABER:
Was Du eigentlich machen willst, ist "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" zu beweisen. So,
wie Du es oben aufschreibst, sieht das aber eher so aus, als wenn Du
"$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$" bewiesen hättest. (Insbesondere steht ja AM ENDE
dabei [mm] "$a=f(1)\,$ [/mm] ist eine wahre Aussage" - aber auch aus unwahrem folgt
wahres: $(-1)=1$ ist falsch, aber daraus folgt [mm] $(-1)^2=1^2\,,$ [/mm] was wegen
[mm] $1=1\,$ [/mm] wahr ist). Und damit das ganz klar wird:
Verwende bitte die Symbole [mm] "$\Rightarrow$", "$\Leftarrow$" [/mm] und
[mm] "$\gdw$" [/mm] in Deinen Beweisen, oder benutze entsprechende
Formulierungen.
Wenn man schreibt:
$$2x+8=10$$
$$2x=2$$
$$x=1$$
dann ist das ein Schmierzettelgeschreibsel - als Korrektor schreibe ich Dir
darunter: "Wunderbare Sammlung von Gleichungen, deren Bezug
zueinander nirgends zum Vorschein gebracht wird. 1/2 von 4 Punkten!"
(Die Aufgabenstellung sollte natürlich wenigstens auf einem Aufgabenblatt
stehen, auch, wenn ich hier keine formuliert habe...)
> q.e.d.
Versuchst Du den Induktionsschritt nochmal selbst, und zwar "in den
richtigen Folgerungsrichtungen" (vielleicht liest Du auch hier (klick!)
(in dem ganzen Thread) mal, was ich genau damit meine):
Zu zeigen ist: [mm] $f(n+1)=a*(n+1)\,.$
[/mm]
Es GILT:
$$f(n+1)=f(n)+f(1)=f(n)+a$$
nach der Definition [mm] $a:=f(1)\,$ [/mm] und der Voraussetzung an [mm] $f\,.$
[/mm]
Zudem wissen wir: Nach I.V. gilt [mm] $f(n)=a*n\,.$ [/mm] Setzen wir dies oben ein, so
folgt
$$f(n+1)=...$$
Na, siehst Du den Unterschied?
Deine Rechnung wird man nur akzeptieren, wenn sie etwa so aussähe:
Wir wollen zeigen:
[mm] $$f(n+1)=a*(n+1)\,.$$
[/mm]
(Das ist bis hierhin EINE BEHAUPTUNG, deren Beweis wir ZU ERBRINGEN
haben!)
Wir zeigen dies nun: Es gilt
$$f(n+1)=a*(n+1)$$
[mm] $$\stackrel{\text{nach gegebener Vorauss. an }f}{\gdw} [/mm] f(n)+f(1)=a*n+a*1$$
[mm] $$\stackrel{I.V.}{\gdw} [/mm] a*n+f(1)=a*n+a$$
[mm] $$\gdw f(1)=a\,.$$
[/mm]
Also folgt die Behauptung aus [mm] $f(1)=a\,,$ [/mm] da [mm] $a=f(1)\,$ [/mm] per Definition von
[mm] $a\,$ [/mm] wahr ist.
(Beachte: Wichtig bei den [mm] "$\gdw$" [/mm] sind aber eigentlich nur die
[mm] "$\Leftarrow$'s". [/mm] Und wenn man das so rechnet, kann man auch damit
danach den Beweis durch Lesen von unten nach oben und nur unter
der Verwendung der [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] schreiben:
Es gilt
$$a=f(1)$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] a*n+a=a*n+f(1)$$
[mm] $$\stackrel{I.V.}{\Rightarrow} [/mm] a*n+a=f(n)+f(1)$$
[mm] $$\Rightarrow a*(n+1)=f(n+1)\,,$$
[/mm]
also die Behauptung!)
> Was bringt es mir dies für f(0) zu zeigen:
>
> Zu f(0)=0:
>
> f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) =2f(0)
Na, es ist doch $f(0)=:r [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und wie zeigt man wohl, wenn $r [mm] \in \IR$
[/mm]
ist, dass die Gleichung [mm] $r=2r\,$ [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] $r=0\,$ [/mm] ist?
Angenommen, es wäre $r [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $r=2r\,.$ [/mm] Dann ist die Gleichung
[mm] $r=2r\,$ [/mm] äquivalent zu der Gleichung, die entsteht, wenn ich [mm] $r=2r\,$
[/mm]
auf beiden Seiten durch [mm] $r\,$ [/mm] teile. Und das ist dann ein Widerspruch:
Wie lautet der?
Zudem sollte man sich noch davon überzeugen, dass in der Tat [mm] $0=2*0\,$
[/mm]
gilt...
> Muss ich dies extra zeigen, da x [mm]\in \IN_{0}[/mm] ist?
?? Es gilt [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann gilt das auch
für speziell $x:=y:=0 [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und es gilt übrigens auch
[mm] $f(\ell+m)=f(\ell)+f(m)$ [/mm] für alle [mm] $\ell,m \in \IN_0$ [/mm] - denn es ist [mm] $\IN_0 \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Aber ob Du nun mit $0 [mm] \in \IN_0$ [/mm] oder $0 [mm] \in \IR$ [/mm] arbeitest, ist doch egal:
Denn die [mm] $0_{\IN_0}$ [/mm] aus [mm] $\IN_0$ [/mm] ist doch die gleiche wie die [mm] $0_{\IR}$
[/mm]
in [mm] $\IR\,.$...
[/mm]
> Stimmt dies erstmal so?
Nein - bzw. da steckt schon richtiges drin, aber so, wie Du es
aufgeschrieben hast, sind die wichtigen "Folgerungsrichtungen" unklar
bzw. noch nicht mal gekennzeichnet. Und alleine formal ist das Ganze da
schon echt ... stark überarbeitungsbedürftig.
P.S. Wie gesagt: Beachte bitte, dass Du einen Beweis "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$"
nicht führen kannst, indem Du "$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$" beweist. Was man
machen kann:
"$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" kann man mit der sogenannten Kontraposition
[mm] "$(\red{\neg} [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\red{\neg} [/mm] A)$" beweisen - das wäre
äquivalent zueinander.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 07.12.2012 | | Autor: | zjay |
Danke für den Hinweis. Bisher bin ich noch nicht von den Korrektoren auf meine Schreibweise angesprochen worden. Aber ich habe mir schon gedacht, dass sie nicht gut ist.
Um in es meinen eigenen Worten zu sagen: Ich vermute, dass es dich stört, dass ich beim Induktionssatz gleichzeitig auf beiden Seiten umgeformt habe und dadurch angenommenes und zu zeigendes nicht eindeutig gezeigt hatte. Nachdem ich deinen Post und deinen Link gelesen habe, hoffe ich, dass ich es jetzt richtig verstanden hab.
Auf ein Neues:
zu zeigen: f(n)=an mit n [mm] \in \IN, [/mm] a=:f(1)
IA: n=1:
f(1)=a*1
[mm] \gdw [/mm] f(1)=a ist wahr.
IV: Es gelte f(n)=a*n eine wahre Aussage mit n [mm] \in \IN
[/mm]
IS: n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
f(n+1)=a(n+1)
[mm] \gdw [/mm] f(n)+f(1)=a(n+1)
[mm] \stackrel{I.V.}{\gdw} [/mm] a*n+f(1)=a(n+1) |f(1)=a
[mm] \gdw [/mm] a*n+a=a(n+1)
wahre Aussage
q.e.d.
Den Rest deines Posts schaue ich mir nach dem Essen gründlicher an,
bis dahin,
zjay
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Hallo zjay,
> Danke für den Hinweis. Bisher bin ich noch nicht von den
> Korrektoren auf meine Schreibweise angesprochen worden.
> Aber ich habe mir schon gedacht, dass sie nicht gut ist.
>
> Um in es meinen eigenen Worten zu sagen: Ich vermute, dass
> es dich stört, dass ich beim Induktionssatz gleichzeitig
> auf beiden Seiten umgeformt habe und dadurch angenommenes
> und zu zeigendes nicht eindeutig gezeigt hatte. Nachdem ich
> deinen Post und deinen Link gelesen habe, hoffe ich, dass
> ich es jetzt richtig verstanden hab.
>
> Auf ein Neues:
>
> zu zeigen: f(n)=an mit n [mm]\in \IN,[/mm] a=:f(1)
>
> IA: n=1:
>
> f(1)=a*1
>
> [mm]\gdw[/mm] f(1)=a ist wahr.
>
> IV: Es gelte f(n)=a*n eine wahre Aussage mit für ein beliebiges, aber festes n [mm]\in \IN[/mm]
>
> IS: n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
>
> f(n+1)=a(n+1)
>
> [mm]\gdw[/mm] f(n)+f(1)=a(n+1)
>
> [mm]\stackrel{I.V.}{\gdw}[/mm] a*n+f(1)=a(n+1) |f(1)=a
>
> [mm]\gdw[/mm] a*n+a=a(n+1)
>
> wahre Aussage ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> q.e.d.
Ja, so kannst du das machen, da du nur Äquivalenzumformungen machst.
*Ich* bin da immer etwas vorsichtig und nehme mir die eine Seite (die linke meist) her und forme um, bis ich die andere Seite habe.
Da muss man sich nicht um die Richtungen kümmern ....
Also zz: [mm]f(n+1)=a(n+1)[/mm]
dazu: [mm]f(n+1)=f(n)+f(1)=an+f(1)[/mm] nach IV
[mm]=an+a[/mm] nach Def. [mm]f(1)[/mm]
[mm]=a(n+1)[/mm]
>
> Den Rest deines Posts schaue ich mir nach dem Essen
> gründlicher an,
>
> bis dahin,
>
> zjay
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Fr 07.12.2012 | | Autor: | zjay |
also für x [mm] \in \IN_{0} [/mm] und x [mm] \in \IZ^{+} [/mm] und x [mm] \in \IZ^{-} [/mm] habe ich die Bedingungen gezeigt.
Jetzt sitze ich an x [mm] \in \IQ.
[/mm]
[mm] \IQ [/mm] kann ich als Bruch [mm] \bruch{p}{q} [/mm] aufschreiben. Dabei muss gelten, dass p [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IN [/mm] ist, oder?
mfg,
zjay
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Hallo nochmal,
> also für x [mm]\in \IN_{0}[/mm] und x [mm]\in \IZ^{+}[/mm] und x [mm]\in \IZ^{-}[/mm]
> habe ich die Bedingungen gezeigt.
ok
>
> Jetzt sitze ich an x [mm]\in \IQ.[/mm]
>
> [mm]\IQ[/mm] kann ich als Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm] aufschreiben.
[mm]x\in\IQ[/mm] kannst du so schreiben, [mm]\IQ[/mm] selbst wohl kaum ...
> Dabei
> muss gelten, dass p [mm]\in \IZ[/mm] und q [mm]\in \IN[/mm] ist, oder?
Jo!
>
> mfg,
>
> zjay
Gruß
schachuzipus
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