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Stetigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mo 30.04.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf Stetigkeit:
a) [mm] $f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}$ [/mm]
b) [mm] $f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}$ [/mm]

Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir Polarkoordinaten ein.

Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe, aber stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie anfangen.
Freue mich über jeden Tipp.
Vielen Dank
Dudi

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Mo 30.04.2012
Autor: fred97


> Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> Stetigkeit:
>  a)
> [mm]f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> b)
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> Polarkoordinaten ein.
>  Hallo zusammen,
>  ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe, aber
> stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie
> anfangen.


Es dürfte klar sein, dass beide Funktionen in jedem x [mm] \in \IR^2 [/mm] \ {0} stetig sind.

Für x=(0,0) folge dem Hinweis. Untersuche also, ob

[mm] \limes_{r\rightarrow 0}f_i(rcos(t),rsin(t)) [/mm] existiert und mit [mm] f_i(0,0) [/mm] übereinstimmt.


FRED
                  

>  Freue mich über jeden Tipp.
>  Vielen Dank
>  Dudi


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Mo 30.04.2012
Autor: DudiPupan


> > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > Stetigkeit:
>  >  a)
> >
> [mm]f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
> >  

> > b)
> >
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> >  

> > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > Polarkoordinaten ein.
>  >  Hallo zusammen,
>  >  ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe, aber
> > stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie
> > anfangen.
>  
>
> Es dürfte klar sein, dass beide Funktionen in jedem x [mm]\in \IR^2[/mm]
> \ {0} stetig sind.
>  
> Für x=(0,0) folge dem Hinweis. Untersuche also, ob
>  
> [mm]\limes_{r\rightarrow 0}f_i(rcos(t),rsin(t))[/mm] existiert und
> mit [mm]f_i(0,0)[/mm] übereinstimmt.

Aber wenn ich das bei [mm] $f_1$ [/mm] mache, dann sieht das ja wie folgt aus:
[mm] $f_1(r*\cos(t),r*\sin(t))=\frac{r*\cos(t)*r^3*\sin^3(t)}{(r^2*\cos^2(t)+r^2*\sin^2(t))^2}$ [/mm]
[mm] $=\frac{r^4*\cos(t)*\sin^3(t)}{r^4*\cos^4(t)+2r^4*\cos^2(t)*\sin^2(t)+r^4*\sin^4(t)}$ [/mm]
[mm] $=\frac{r^4*\cos(t)*\sin^3(t)}{r^4*(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$ [/mm]
$= [mm] \frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$ [/mm]
Hier kürzt sich das $r$ doch raus und somit gilt doch: [mm] $\lim_{r\to 0}f_1(r*\cos(t),r*\sin(t))=\frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$, [/mm] oder?

EDIT:
Oh, ich habe was übersehen:
[mm] $f_1(r*\cos(t),r*\sin(t))=\frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^4(t)+2\cos^2(t)*\sin^2(t)+\sin^4(t)}$ [/mm]
[mm] $=\frac{\cos(t)*\sin^3(t)}{(\cos^2(t)+\sin^2(t))^2}$ [/mm]
Da [mm] $\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$ [/mm] gilt:
[mm] $=\cos(t)*\sin^3(t)$ [/mm]
Aber wirklich weiter bringt mich das leider noch nicht :-/

EDIT:
Okay, ich denk ich habs:
Da [mm] $\cos(t)*\sin^3(t)$ [/mm] winkelabhängig ist, ist [mm] $f_1$ [/mm] im Ursprung nicht stetig. Da z.b. gilt: [mm] $\cos(0)*\sin^3(0)=1*0=0$, [/mm] jedoch [mm] $\cos(\frac{\pi}{4})*sin^3(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}*\frac{1}{2*\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\neq [/mm] 0$

>  

>  
>
> FRED
>                    
> >  Freue mich über jeden Tipp.

>  >  Vielen Dank
>  >  Dudi
>  

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mo 30.04.2012
Autor: DudiPupan


> > > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > > Stetigkeit:
>  >  >  a)
> > >
> >
> [mm]f_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1x_2^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> > >  

> > > b)
> > >
> >
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > > Polarkoordinaten ein.
>  >  >  Hallo zusammen,
>  >  >  ich arbeite gerade an der oben stehenden Aufgabe,
> aber
> > > stehe irgendwie auf dem schlauch, weiß nicht genau wie
> > > anfangen.
>  >  
> >
> > Es dürfte klar sein, dass beide Funktionen in jedem x [mm]\in \IR^2[/mm]
> > \ {0} stetig sind.
>  >  
> > Für x=(0,0) folge dem Hinweis. Untersuche also, ob
>  >  
> > [mm]\limes_{r\rightarrow 0}f_i(rcos(t),rsin(t))[/mm] existiert und
> > mit [mm]f_i(0,0)[/mm] übereinstimmt.
>  

Bei [mm] $f_2$ [/mm] sähe das dann wie folgt aus:
[mm] $f_2(r*\cos(t),r\sin(t))=\frac{r^3\cos^3(t)r^2\sin^2(t)}{r^4(\cos^2(t)+\sin^2(t)}$ [/mm]
[mm] $=r\cos^3(t)*\sin^2(t)$ [/mm]
Somit:
[mm] $\lim_{r\to 0}{f_2(r*\cos(t),r\sin(t))}=lim_{r\to 0}{r\cos^3(t)*\sin^2(t)}=0=f(0,0)$ [/mm]
Somit ist die Funktion im Ursprung stetig.


Passt das???

> >  

> >
> > FRED
>  >                    
> > >  Freue mich über jeden Tipp.

>  >  >  Vielen Dank
>  >  >  Dudi
> >  

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 30.04.2012
Autor: angela.h.b.


> > > > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > > > Stetigkeit:

> > > > b)
> > > >
> > >
> >
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > > > Polarkoordinaten ein.

> Bei [mm]f_2[/mm] sähe das dann wie folgt aus:
>  
> [mm]f_2(r*\cos(t),r\sin(t))=\frac{r^3\cos^3(t)r^2\sin^2(t)}{r^4(\cos^2(t)+\sin^2(t)}[/mm]
>  [mm]=r\cos^3(t)*\sin^2(t)[/mm]
>  Somit:
>  [mm]\lim_{r\to 0}{f_2(r*\cos(t),r\sin(t))}=lim_{r\to 0}{r\cos^3(t)*\sin^2(t)}=0=f(0,0)[/mm]
> Somit ist die Funktion im Ursprung stetig.
>  
>
> Passt das???

Ja.

LG Angela



Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 30.04.2012
Autor: DudiPupan


>
> > > > > Untersuchen Sie die nachstehenden Funktionen auf
> > > > > Stetigkeit:
>  
> > > > > b)
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},x=(x_1,x_2)'\mapsto\begin{cases}\frac{x_1^3x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}, x\neq 0\\ \quad \ \ 0,\quad \, \, x=0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > >  

> > > > > Hinweis: Für die Untersuchung im Ursprung führen Sie dir
> > > > > Polarkoordinaten ein.
>  
> > Bei [mm]f_2[/mm] sähe das dann wie folgt aus:
>  >  
> >
> [mm]f_2(r*\cos(t),r\sin(t))=\frac{r^3\cos^3(t)r^2\sin^2(t)}{r^4(\cos^2(t)+\sin^2(t)}[/mm]
>  >  [mm]=r\cos^3(t)*\sin^2(t)[/mm]
>  >  Somit:
>  >  [mm]\lim_{r\to 0}{f_2(r*\cos(t),r\sin(t))}=lim_{r\to 0}{r\cos^3(t)*\sin^2(t)}=0=f(0,0)[/mm]
> > Somit ist die Funktion im Ursprung stetig.
>  >  
> >
> > Passt das???
>  
> Ja.
>  
> LG Angela

Vielen Dank :)

lG
Dudi

>  
>  


Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Mo 30.04.2012
Autor: leduart

Hallo
dein edit ist richtig
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 30.04.2012
Autor: DudiPupan

Vielen Dank :)
lG Dudi

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