Stetigkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 29.03.2012 | | Autor: | Sab25 |
| Aufgabe | Hallo ich habe ein problem bei meiner Aufgabe:
Stetige Fortsetzung einer Funktion: Sei a ein Häufungspunkt von einer Menge D, der nicht zu D gehört. Eine stetige
Funktion f : D ENTSPRICHT R läßt sich stetig in den Punkt a fortsetzen, wenn es eine stetige Funktion g : D U { a } entspricht R gibt, deren
Restriktion auf D gerade die Funktion f ist (d.h. g(x) = f (x) für alle x element D). So eine Funktion g heißt eine stetige
Fortsetzung der Funktion f.
(a) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f .
(b) Bestimmen Sie die Menge aller Häufungspunkte des in Aufgabenteil (a) ermittelten Definitionsbereichs.
(c) Ist f in x = -3 stetig fortsetzbar? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls eine stetige Fortsetzung
an. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Edit Moderator Marcel:
[mm] $$f(x)=\bruch{\cos(x)*x*3-3*\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{x^2+\frac{\pi+6}{2}*x+\frac{3\pi}{2}}\,.$$
[/mm]
Ende Edit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 29.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ich habe ein problem bei meiner Aufgabe:
>
> Stetige Fortsetzung einer Funktion: Sei a ein
> Häufungspunkt von einer Menge D, der nicht zu D gehört.
> Eine stetige
> Funktion f : D ENTSPRICHT R
das "D ENTSPRICHT R" ist kein "entspricht", sondern ein "von [mm] $D\,$ [/mm] NACH [mm] $R\,,$" [/mm] also $f: D [mm] \to \IR\,.$
[/mm]
> läßt sich stetig in den
> Punkt a fortsetzen, wenn es eine stetige Funktion g : D U {
> a } entspricht R gibt,
S.o.: $g: D [mm] \cup \{a\} \to \IR$
[/mm]
> deren
> Restriktion auf D gerade die Funktion f ist (d.h. g(x) = f
> (x) für alle x element D).
Im Zeichen [mm] $g_{|D}=f\,.$
[/mm]
> So eine Funktion g heißt eine
> stetige
> Fortsetzung der Funktion f.
>
> (a) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich
> von f .
> (b) Bestimmen Sie die Menge aller Häufungspunkte des in
> Aufgabenteil (a) ermittelten Definitionsbereichs.
> (c) Ist f in x = -3 stetig fortsetzbar? Begründen Sie
> Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls eine stetige
> Fortsetzung
> an.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Ich sehe da auch keine Frage. Du postest einfach nur die Aufgabenstellung, und selbst die nicht besonders schön:
Neben falscher Wortwahl könntest Du den Formeleditor benutzen und [mm] $f\,$ [/mm] abtippen. (Letzteres habe ich Dir mal editiert - halte die Maus über die Formel, dann siehst Du, wie's funktioniert!)
Die Aufgabenstellung ist übrigens auch schlecht. "Minimal besser" wäre sie etwa, wenn man sagt, dass man einen größtmöglichen Teilbereich $D [mm] \red{\;\subseteq \IR}$ [/mm] (dass [mm] $\red{\IR}$ [/mm] dort steht, ist ja nicht absolut klar, dort könnte ja auch [mm] $\IC$ [/mm] etwa stehen:
Beachte, dass etwa [mm] $\sin(\pi/2+i*y)=\cosh(y) \in \IR$ [/mm] gilt) so angeben soll, so dass der Ausdruck bei
[mm] $$f(x)=.../...\,$$
[/mm]
rechterhand für alle $x [mm] \in [/mm] D$ definiert ist. Dabei bedeutet größtmöglich, dass: Ist $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so, dass der Ausdruck bei
[mm] $$f(x)=.../...\,$$
[/mm]
rechterhand für alle $x [mm] \in [/mm] M$ definiert ist, so folgt $M [mm] \subseteq D\,.$
[/mm]
Um damit mal zu beginnen, kannst Du ja mal die Nullstellen des Nenners ausrechnen. Und dann bitte konkrete Fragen stellen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Do 29.03.2012 | | Autor: | Sab25 |
Nullstellen:
x 1,2 = - [mm] \bruch{2*(pi + 6 )}{2} [/mm] + - [mm] \wurzel{4*pi^2 +24 * pi +36 -\bruch{3*pi}{2} }
[/mm]
JETZT habe ich probleme irgendwie die Nullstellen raus zu kriegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nullstellen:
>
> x 1,2 = - [mm]\bruch{2*(pi + 6 )}{2}[/mm] + - [mm]\wurzel{4*pi^2 +24 * pi +36 -\bruch{3*pi}{2} }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> JETZT habe ich probleme irgendwie die Nullstellen raus zu
> kriegen.
ich rechne es mal nach:
$$x^2+\underbrace{\frac{\pi+6}{2}}_{=:p}\;\cdot{}x+\underbrace{\frac{3\pi}{2}}}_{=:q}=0$$
$$\gdw x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(p/2)^2-q}$$
$$\gdw x_{1,2}=\;-\;\frac{\pi+6}{4}\pm \sqrt{\left(\frac{\pi+6}{4}\right)^2-\frac{3\pi}{2}}=\;-\;\frac{\pi+6}{4}\pm\sqrt{\frac{\pi^2+12\pi+36-24}{16}}=\;-\;\frac{\pi+6}{4}\pm\sqrt{\frac{(\pi-6)^2}{16}}$$
$$\gdw x_{1,2}=\;-\frac{\pi+6}{4}\pm\frac{\pi-6}{4}\,.$$
Rechnest Du nun richtig weiter, so siehst Du $x_1=-3$ und $x_2=\;-\;\frac{2\pi}{4}=\;-\;\frac{\pi}{2}\,.$
Kontrolliere das bitte - das heißt: Verwerfe Deine obige Rechnung und rechne es erneut nach (ich habe mein Ergebnis geprüft)!
Danach: Was bringt uns das nun bzgl. des größtmöglichen Definitionsbereich $D \subseteq \IR\,,$ für den $f\,$ bzgl. der gegebenen Rechenvorschrift/Funktionsvorschrift überall definiert sein soll?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Sab25 |
Hallo marcel ich poste dir mal die musterlösung als foto , weil danach sind die nullstellen ein wenig anders.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo marcel ich poste dir mal die musterlösung als foto ,
> weil danach sind die nullstellen ein wenig anders.
ich bin mir wegen des Urheberrechts nicht ganz sicher, daher soll mal jmd. anders gucken, ob die Fotos so erlaubt sind. Aber was ich sehe:
Nullstellenmenge des Nenners ist [mm] $\{-3,\;-\pi/2\}\,.$ [/mm] (Hast Du aber mittlerweile auch gesehen, wenn ich das richtig verstehe!)
Und wie gesagt: Ich hab's geprüft (mit Funkyplot)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Sab25 |
Ich verstehe nicht so richtig wie du auf das pi+6/4 kommst.
Vor der wurzel das musst du mir bitte erklären.
DIE Nullstellen stimmen natürlich vin dir , hatte mich verschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich verstehe nicht so richtig wie du auf das pi+6/4
> kommst.
>
> Vor der wurzel das musst du mir bitte erklären.
>
> DIE Nullstellen stimmen natürlich vin dir , hatte mich
> verschrieben.
elementare Bruchrechnung:
Wenn [mm] $p=\frac{\pi+6}{2}$ [/mm] ist, dann ist
[mm] $$-\;\frac{p}{2}=-\frac{\frac{\pi+6}{2}}{2}=-\;\frac{\pi+6}{2}*\frac{1}{2}=-\;\frac{\pi+6}{4}\,.$$
[/mm]
Beachte:
[mm] $$\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}\,,$$
[/mm]
das heißt: Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. Bei Dir teilen wir durch den Bruch [mm] $2=2/1\,,$ [/mm] also [mm] $c=2\,,$ $d=1\,.$
[/mm]
Das kann man auch anders begründen, aber wie auch immer: Es ist eigentlich Schulwissen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nebenbei:
> Ich verstehe nicht so richtig wie du auf das pi+6/4
> kommst.
so musst Du Klammern setzen:
[mm] $$(\pi+6)/4$$
[/mm]
Schließlich wäre [mm] $\pi+6/4$ [/mm] sonst zu lesen als
[mm] $$\pi+\frac{6}{4}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Sab25 |
Ah ok danke . Aber einen letzten gefallen musst du mir noch tun und erklären wie ich die stetige fortsetzbarkeit prüfe für x = -3
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> Ah ok danke . Aber einen letzten gefallen musst du mir noch
> tun
Hallo,
nein, wir "müssen" gar nichts...
Oft tun wir's aber trotzdem.
> und erklären wie ich die stetige fortsetzbarkeit
> prüfe für x = -3
Wenn Du Dir Deine Skizze der Funktion anschaust, wirst Du sofort wissen, ob man an der Stelle x=-3 einen Funktionswert so einflicken kann, daß die Funktion stetig wird.
Rechnerisch: berechne den rechts- und linksseitigen Grenzwert an der fraglichen Stelle.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Sab25 |
Kann mir jemand nur noch einen tipp für die c geben?
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Hallo Sab25,
> Kann mir jemand nur noch einen tipp für die c geben?
Das hat Angela in der letzten Antwort doch bereits getan; sie hat genau beschrieben, was zu tun ist. Graphisch kannst du es ablesen, wie du es rechnerisch machen musst, steht da laut und deutlich - hast du das nicht gelesen?
Ich sehe keine Sinn darin, das nochmal ab- und einzutippen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kann mir jemand nur noch einen tipp für die c geben?
klar: Wenn Du uns sagst, wo genau es hapert!
Gruß,
Marcel
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