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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 01.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen.
ich hoffe ihr könnt mir eventuell bei folgender Aufgabe behilflich sein. Wäre euch sehr dankbar.
Bestimme für folgende Funktion die Menge aller Punkte in denen sie Stetig sind.
[mm] f:\IR^2\to\IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2 \cdot x \cdot y}{x^2+y^2}, & \mbox{falls} (x,y) \not= \mbox{(0,0)} \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = \mbox{(0,0)} \end{cases}
[/mm]
Meine Idee:
Der Ausdruck [mm] \bruch{2 \cdot x \cdot y}{x^2+y^2} [/mm] ist stetig als Quotient stetiger Funktionen 2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] y und [mm] x^2+y^2, [/mm] da der Nenner [mm] x^2+y^2 [/mm] von Null verschieden ist
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig im Punkt [mm] (x_0,y_0) \not= [/mm] (0,0)
Es bleibt somit der Punkt [mm] (x_0,y_0)=(0,0) [/mm] auf Stetigkeit zu untersuchen.
Bevor ich mich nun dem Punkt [mm] (x_0,y_0)=(0,0) [/mm] zuwende, wollte ich allerdings zunächst wissen, ob meine Idee in die richtige Richtung geht.
Danke für eure Hilfe
Mit freundlichen Grüßen thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 01.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo zusammen.
>
> ich hoffe ihr könnt mir eventuell bei folgender Aufgabe
> behilflich sein. Wäre euch sehr dankbar.
>
> Bestimme für folgende Funktion die Menge aller Punkte in
> denen sie Stetig sind.
>
> [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm]
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2 \cdot x \cdot y}{x^2+y^2}, & \mbox{falls} (x,y) \not= \mbox{(0,0)} \\
0, & \mbox{falls } (x,y) = \mbox{(0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> Meine Idee:
> Der Ausdruck [mm]\bruch{2 \cdot x \cdot y}{x^2+y^2}[/mm] ist stetig
> als Quotient stetiger Funktionen 2 [mm]\cdot[/mm] x [mm]\cdot[/mm] y und
> [mm]x^2+y^2,[/mm] da der Nenner [mm]x^2+y^2[/mm] von Null verschieden ist
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist stetig im Punkt [mm](x_0,y_0) \not=[/mm] (0,0)
>
> Es bleibt somit der Punkt [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] auf Stetigkeit zu
> untersuchen.
So ist es, alles korrekt
>
> Bevor ich mich nun dem Punkt [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] zuwende,
> wollte ich allerdings zunächst wissen, ob meine Idee in
> die richtige Richtung geht.
Dann mal los 
>
> Danke für eure Hilfe
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 01.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo. Dankeschön für deine Antwort.
Meine Idee zum etwas komplizierteren Teil wäre nun:
Um den Punkt (0,0) zu untersuchen betrachte ich nun beispielsweise die Folge [mm] \vec{a_k}=(\bruch{1}{k},0).
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} f(\vec{a}_k)=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2 \cdot x_k \cdot y_k}{x_k^2+y_k^2}=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2 \cdot \bruch{1}{k} \cdot 0}{\bruch{1}{k^2}+0}=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{0}{\bruch{1}{k^2}}=0
[/mm]
Das würde ja bedeuten, dass die Funktion stetig wäre... Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das der richtige Weg war, denn ich kann ja noch etliche andere Folgen versuchen durchzukauen und irgendwann finde ich dann vielleicht mal eine, für die die Funktion dann halt nicht stetig ist...
Leider komme ich also in diesem Punkt nicht so richtig weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Mit freundlichen Grüßen thadod
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Moin,
> Hallo. Dankeschön für deine Antwort.
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> Meine Idee zum etwas komplizierteren Teil wäre nun:
> Um den Punkt (0,0) zu untersuchen betrachte ich nun
> beispielsweise die Folge [mm]\vec{a_k}=(\bruch{1}{k},0).[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} f(\vec{a}_k)=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2 \cdot x_k \cdot y_k}{x_k^2+y_k^2}=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2 \cdot \bruch{1}{k} \cdot 0}{\bruch{1}{k^2}+0}=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{0}{\bruch{1}{k^2}}=0[/mm]
>
> Das würde ja bedeuten, dass die Funktion stetig wäre... ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob das der
> richtige Weg war, denn ich kann ja noch etliche andere
> Folgen versuchen durchzukauen und irgendwann finde ich dann
> vielleicht mal eine, für die die Funktion dann halt nicht
> stetig ist...
Genau, da ist das Problem. Für Stetigkeit in (0,0) müsste gelten:
Für alle Folgen [mm] x_n\to(0,0) [/mm] gilt [mm] f(x_n)\to [/mm] f((0,0))=0.
Es gilt [mm] a_k=\vektor{1/k\\1/k}\to\vektor{0\\0},k\to\infty. [/mm] Aber was passiert mit [mm] f(a_k) [/mm] für [mm] k\to\infty?
[/mm]
>
> Leider komme ich also in diesem Punkt nicht so richtig
> weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 01.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Hilfe.
Also...
Ich wähle nun die Folge [mm] (a_k,b_k)=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k}) [/mm] und untersuche anschließend die Funktionswerte auf diesen Folgen [mm] f(a_k,b_k)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(a_k,b_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\bruch{\bruch{2}{k^2}}{\bruch{2}{k^2}}=1
[/mm]
Wäre somit dann nicht schon gezeigt, dass die Funktion unstetig ist?
Mit freundlichen Grüßen thadod
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> Hallo und danke für deine Hilfe.
>
> Also...
>
> Ich wähle nun die Folge
> [mm](a_k,b_k)=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})[/mm] und untersuche
> anschließend die Funktionswerte auf diesen Folgen
> [mm]f(a_k,b_k)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(a_k,b_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\bruch{\bruch{2}{k^2}}{\bruch{2}{k^2}}=1[/mm]
>
> Wäre somit dann nicht schon gezeigt, dass die Funktion
> unstetig ist?
Jo, zumindest ist sie in (0,0) unstetig wegen [mm] 1\neq0=f(0,0)
[/mm]
Das Folgengegenbeispiel reicht als Beweis.
>
> Mit freundlichen Grüßen thadod
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 01.05.2011 | | Autor: | thadod |
Danke vielmals für deine Hilfe...
Mit freundlichen Grüßen thadod
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