Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 28.04.2011 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Menge aller Punkte, in denen
sie stetig sind:
a) [mm] f:\IR^2\to\IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2xy}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
b) [mm] g:\IR^2\to\IR
[/mm]
[mm] g(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{für } x \not=y \\ 0, & \mbox{für } x=y \end{cases} [/mm] |
Hallo!
Ich habe natürlich schon versucht mich etwas darein zu arbeiten, blicke aber nicht so ganz durch.
Also stetigkeit im [mm] \IR [/mm] war ja einfach zu überprüfen, in dem man den Grenzwert der Funktion von oben und unten gegen eine kritische Stelle hat laufen lassen und diese Werte mussten mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmen.
Wie das jetzt im mehrdimensionalen ist, verstehe ich aber nicht so ganz.
Das hier habe ich aus meinem Skript: f = [mm] (f_{1}, [/mm] . . . , [mm] f_{m}) [/mm] ist genau dann stetig,wenn alle Komponentenfunktionen stetig sind.
Ich würde vermuten, dass die Funktion so wie sie da steht nicht stetig ist im Punkt (0,0). Aber wie zeige ich sowas? Muss ich nicht irgendwie Komponentenfolgen finden, die gegen 0 konvergieren und dann mit diesen Folgen zeigen, dass f nicht stetig in (0,0) ist? (Weil die Funktion "aus allen Richtungen" stetig sein muss?)
Und jetzt soll ich ja einen Definitionsbereich sagen, auf dem sie stetig ist.
Ich verstehe es nicht. Darum wäre es nett wenn mir jemand helfen kann:)
Ich bedanke mich!
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Hallo stffn,
> Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Menge aller
> Punkte, in denen
> sie stetig sind:
>
> a) [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2xy}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not=(0,0) \\
0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> b) [mm]g:\IR^2\to\IR[/mm]
>
> [mm]g(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{für } x \not=y \\
0, & \mbox{für } x=y \end{cases}[/mm]
>
> Hallo!
> Ich habe natürlich schon versucht mich etwas darein zu
> arbeiten, blicke aber nicht so ganz durch.
> Also stetigkeit im [mm]\IR[/mm] war ja einfach zu überprüfen, in
> dem man den Grenzwert der Funktion von oben und unten gegen
> eine kritische Stelle hat laufen lassen und diese Werte
> mussten mit dem Funktionswert an der Stelle
> übereinstimmen.
>
> Wie das jetzt im mehrdimensionalen ist, verstehe ich aber
> nicht so ganz.
> Das hier habe ich aus meinem Skript: f = [mm](f_{1},[/mm] . . . , [mm]f_{m})[/mm] ist genau dann stetig,wenn alle
> Komponentenfunktionen stetig sind.
Naja, hier hast du ja nur eine Komponente, die Funktion bildet ja in den [mm]\IR^1[/mm] ab ...
>
> Ich würde vermuten, dass die Funktion so wie sie da steht
> nicht stetig ist im Punkt (0,0). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zumindest die erste ...
> Aber wie zeige ich sowas?
> Muss ich nicht irgendwie Komponentenfolgen finden, die
> gegen 0 konvergieren und dann mit diesen Folgen zeigen,
> dass f nicht stetig in (0,0) ist? (Weil die Funktion "aus
> allen Richtungen" stetig sein muss?)
> Und jetzt soll ich ja einen Definitionsbereich sagen, auf
> dem sie stetig ist.
Nun in a) ist doch die Funktion als Verkettung stetiger Funktionen stetig auf [mm]\IR^2\setminus\{(0,0)\}[/mm]
Um die Stetigkeit in [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] zu untersuchen, kannst du versuchen, dir durch Transformation in Polarkoordinaten [mm](x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi))[/mm] einen Überblick zu verschaffen.
Es müsste [mm]f[/mm] dann unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] für [mm]r\to 0[/mm] gegen [mm]f(0,0)=0[/mm] streben.
Dein Eindruck wird dich nicht täuschen.
Um Stetigkeit in [mm](0,0)[/mm] zu widerlegen, bediene dich des Folgenkriteriums.
Finde eine (einfache) Folge [mm](x_n,y_n)[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)[/mm], aber [mm]\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n,y_n)\neq 0=f(0,0)[/mm]
Die andere habe ich mir noch nicht genau angesehen, aber ich vermute, dass du dort Stetigkeit zeigen kannst ...
Bedenke, dass der [mm]\arctan[/mm] beschränkt ist, [mm]|\arctan(z)| \ < \ \frac{\pi}{2}[/mm]
>
> Ich verstehe es nicht. Darum wäre es nett wenn mir jemand
> helfen kann:)
> Ich bedanke mich!
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 29.04.2011 | | Autor: | stffn |
Hallo schachuzipus, danke für deine Erklärung, ich glaube ich habe es verstanden. Hier sind meine Ergebnisse:
a) Ich habe vermutet, dass f nicht in (0,0) stetig ist und die Folgen [mm] x_{n}=y_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] in f eingesetzt:
[mm] \rightarrow f(x_{n},y_{n})=\bruch{\bruch{2}{n^2}}{\bruch{2}{n^2}}=1\not=0
[/mm]
Also ist f nicht stetig in (0,0).
b) Ich habe vermutet, dass g nicht stetig für alle x=y ist:
[mm] \vektor{x \\ x}\in\IR^2 [/mm] ist meine kritische Stelle, also brauche ich [mm] x_{n}\to [/mm] x, [mm] y_{n}\to [/mm] x
[mm] \rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_{n},y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n}^2+y_{n}^2)arctan(\bruch{1}{x_{n}-y_{n}})=x^2\pi
[/mm]
Da g für x=y Null ist, muss ich das jetzt =0 setzen:
[mm] 0=x^2\pi
[/mm]
[mm] x^2=0
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] g ist stetig in [mm] G:=\{(x,y)\in\IR^2|x\not= y\}\cup \{\vektor{0 \\ 0}\}
[/mm]
Irgendwie kommt es mir logisch und richtig vor:=) Was sagst du dazu?
Schöne Grüße, stffn.
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus, danke für deine Erklärung, ich glaube
> ich habe es verstanden. Hier sind meine Ergebnisse:
>
> a) Ich habe vermutet, dass f nicht in (0,0) stetig ist und
> die Folgen [mm]x_{n}=y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] in f eingesetzt:
Genau diese Folge hatte ich auch im Sinn 
>
> [mm]\rightarrow f(x_{n},y_{n})=\bruch{\bruch{2}{n^2}}{\bruch{2}{n^2}}=1\not=0[/mm]
>
> Also ist f nicht stetig in (0,0).
Ganz genau!
>
> b) Ich habe vermutet, dass g nicht stetig für alle x=y
> ist:
Das sehe ich (nun) auch so - dachte vorher, es geht nur um die Stelle [mm](0,0)[/mm] ...
Wer lesen kann, ...
>
> [mm]\vektor{x \\
x}\in\IR^2[/mm] ist meine kritische Stelle
sind die krit. Stellen ...
> , also
> brauche ich [mm]x_{n}\to[/mm] x, [mm]y_{n}\to[/mm] x
>
> [mm]\rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_{n},y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n}^2+y_{n}^2)arctan(\bruch{1}{x_{n}-y_{n}})=x^2\pi[/mm]
>
> Da g für x=y Null ist, muss ich das jetzt =0 setzen:
>
> [mm]0=x^2\pi[/mm]
> [mm]x^2=0[/mm]
Jo, in [mm](0,0)[/mm] ist's wohl stetig!
>
> [mm]\rightarrow[/mm] g ist stetig in [mm]G:=\{(x,y)\in\IR^2|x\not= y\}\cup \{\vektor{0 \\
0}\}[/mm]
Jo, das sieht doch chic aus!
>
> Irgendwie kommt es mir logisch und richtig vor:=) Was sagst
> du dazu?
Meiner eher bescheidenen Meinung nach ist das richtig!
>
> Schöne Grüße, stffn.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:50 Sa 30.04.2011 | | Autor: | stffn |
OK, dann hab ich es wohl wirklich kapiert.
Fällt immer leichter:)
Ich danke dir!!
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Hallo nochmal,
hier noch ein Bildchen der Funktion in b) ..
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi
und zwar sitze ich gerade an der gleichen Aufgabe und irgendwie bezweifle ich,dass der Beweis bei der zweiten Aufgabe richtig ist.
Du kommt ja auf einen Grenzwert und sagst dann da x=y ist muss f=0 sein und dann bekommst du raus das x=0 ist aber damit hast du es meiner Meinung nacah nicht bewiesen weil wenn du jetzt z.B für x=5 einsetzt was ja möglich ist solange auch y=5 ist haut dein BEweis nichtmehr hin
hoffe ihr versteht was ich meine kann natürlich auch sein, dass ich falsch liege> Hallo nochmal,
>
> > Hallo schachuzipus, danke für deine Erklärung, ich glaube
> > ich habe es verstanden. Hier sind meine Ergebnisse:
> >
> > a) Ich habe vermutet, dass f nicht in (0,0) stetig ist und
> > die Folgen [mm]x_{n}=y_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] in f eingesetzt:
>
> Genau diese Folge hatte ich auch im Sinn
>
> >
> > [mm]\rightarrow f(x_{n},y_{n})=\bruch{\bruch{2}{n^2}}{\bruch{2}{n^2}}=1\not=0[/mm]
>
> >
> > Also ist f nicht stetig in (0,0).
>
>
> Ganz genau!
>
> >
> > b) Ich habe vermutet, dass g nicht stetig für alle x=y
> > ist:
>
> Das sehe ich (nun) auch so - dachte vorher, es geht nur um
> die Stelle [mm](0,0)[/mm] ...
>
> Wer lesen kann, ...
>
> >
> > [mm]\vektor{x \\
x}\in\IR^2[/mm] ist meine kritische Stelle
>
> sind die krit. Stellen ...
>
> > , also
> > brauche ich [mm]x_{n}\to[/mm] x, [mm]y_{n}\to[/mm] x
> >
> > [mm]\rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_{n},y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n}^2+y_{n}^2)arctan(\bruch{1}{x_{n}-y_{n}})=x^2\pi[/mm]
>
> >
> > Da g für x=y Null ist, muss ich das jetzt =0 setzen:
> >
> > [mm]0=x^2\pi[/mm]
> > [mm]x^2=0[/mm]
>
> Jo, in [mm](0,0)[/mm] ist's wohl stetig!
>
> >
> > [mm]\rightarrow[/mm] g ist stetig in [mm]G:=\{(x,y)\in\IR^2|x\not= y\}\cup \{\vektor{0 \\
0}\}[/mm]
>
> Jo, das sieht doch chic aus!
>
> >
> > Irgendwie kommt es mir logisch und richtig vor:=) Was sagst
> > du dazu?
>
> Meiner eher bescheidenen Meinung nach ist das richtig!
>
> >
> > Schöne Grüße, stffn.
>
> LG
>
> schachuzipus
>
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Moin JohnDoe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Hi
>
> und zwar sitze ich gerade an der gleichen Aufgabe und
> irgendwie bezweifle ich,dass der Beweis bei der zweiten
> Aufgabe richtig ist.
>
> Du kommt ja auf einen Grenzwert und sagst dann da x=y ist
> muss [mm] \red{g(x,y)}=0 [/mm] sein und dann bekommst du raus das x=0 ist aber
> damit hast du es meiner Meinung nacah nicht bewiesen weil
> wenn du jetzt z.B für x=5 einsetzt was ja möglich ist
> solange auch y=5 ist haut dein BEweis nichtmehr hin
g ist genau dann stetig in einem Punkt [mm] (x,y)\in\IR^2, [/mm] wenn für alle Folgen [mm] a_n\to(x,y) [/mm] gilt, dass [mm] g(a_n)\to [/mm] g((x,y)) für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Nun, es wurden die kritischen Stellen [mm] (x,x),x\in\IR [/mm] betrachtet und es wurde gezeigt, dass für jede Folge [mm] a_n\to(x,x),n\to\infty [/mm] gilt [mm] g(a_n)\to\pi*x^2,n\to\infty. [/mm] Die Definition von Stetigkeit im Punkt (x,x) sagt uns aber, dass der Grenzwert der Folge [mm] g(a_n) [/mm] mit dem Funktionswert g((x,x)) übereinstimmen muss, damit g in (x,x) stetig ist. Dieser Funktionswert ist für alle kritischen Stellen 0.
Also wurde [mm] 0=\pi*x^2 [/mm] gesetzt, woraus x=0 folgt. Das heißt, nur für x=0 ist die Definition der Stetigkeit erfüllt. Für [mm] x\neq0 [/mm] ist die Funktion g in (x,x) nicht stetig.
>
> hoffe ihr versteht was ich meine kann natürlich auch sein,
> dass ich falsch liege
> > > b) Ich habe vermutet, dass g nicht stetig für alle x=y
> > > ist:
> >
> > Das sehe ich (nun) auch so - dachte vorher, es geht nur um
> > die Stelle [mm](0,0)[/mm] ...
> >
> > Wer lesen kann, ...
> >
> > >
> > > [mm]\vektor{x \\
x}\in\IR^2[/mm] ist meine kritische Stelle
> >
> > sind die krit. Stellen ...
> >
> > > , also
> > > brauche ich [mm]x_{n}\to[/mm] x, [mm]y_{n}\to[/mm] x
> > >
> > > [mm]\rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}g(x_{n},y_{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n}^2+y_{n}^2)arctan(\bruch{1}{x_{n}-y_{n}})=x^2\pi[/mm]
> >
> > >
> > > Da g für x=y Null ist, muss ich das jetzt =0 setzen:
> > >
> > > [mm]0=x^2\pi[/mm]
> > > [mm]x^2=0[/mm]
> >
> > Jo, in [mm](0,0)[/mm] ist's wohl stetig!
> >
> > >
> > > [mm]\rightarrow[/mm] g ist stetig in [mm]G:=\{(x,y)\in\IR^2|x\not= y\}\cup \{\vektor{0 \\
0}\}[/mm]
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> >
> > Jo, das sieht doch chic aus!
> >
> > >
> > > Irgendwie kommt es mir logisch und richtig vor:=) Was sagst
> > > du dazu?
> >
> > Meiner eher bescheidenen Meinung nach ist das richtig!
>
LG
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