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| Aufgabe | Seien f, g [mm] \in [/mm] C([0,1], R). Zeigen sie die folgende Aussage:
Gilt g(0) [mm] \le [/mm] f(0) und f(1) [mm] \le [/mm] g(1), so existiert ein x [mm] \in [/mm] [0,1] mit f(x)=g(x) |
Wie kann ich diese Aussage zeigen? Auf Lösungshinweise wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß, favourite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 06.01.2010 | | Autor: | max3000 |
Betrachte die Funktion f-g.
Dann bemerke, dass
[mm] (f-g)(0)\ge0
[/mm]
und
[mm] (f-g)(1)\le0
[/mm]
Außerdem ist (f-g) auch stetig.
Dann kannst du den Zwischenwertsatz anwenden.
Dieser besagt dass ein [mm] c\in(0,1) [/mm] existiert, so dass $(f-g)(c)=0$ gilt.
Wenn ihr den noch nicht bewiesen habt solltest du den eigentlich in jedem Lehrbuch der Analysis finden.
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Hallo Max!
Soweit habe ich deine Hinweise verstanden. Nun, wie soll ich fortfahren mit dem Zwischenwertsatz? ich bin ein wenig verwirrt, hoffe, Du kannst mit auf die Sprünge helfen.
Grüße
favourite
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Hallo favourite,
> Hallo Max!
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> Soweit habe ich deine Hinweise verstanden. Nun, wie soll
> ich fortfahren mit dem Zwischenwertsatz? ich bin ein wenig
> verwirrt, hoffe, Du kannst mit auf die Sprünge helfen.
Na, Max hat's dir doch oben bis 1 Zeile vor Schluss vorgerechnet.
Hast du verstanden, dass es ein [mm] $c\in(0,1)$ [/mm] gibt mit $(f-g)(c)=0$ ?
Soweit hast du's vorgemacht bekommen.
Wie ist denn nun $(f-g)(c)$ definiert?
Doch als $f(c)-g(c)$
Du hast also
$(f-g)(c)=0$
[mm] $\gdw [/mm] f(c)-g(c)=0$
[mm] $\gdw [/mm] f(c)=g(c)$ mit einem gew. [mm] $c\in [/mm] (0,1)$
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> Grüße
>
> favourite
Gruß
schachuzipus
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