Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nabend Euch!
Mein Problem ist derzeit, dass ich mich ALLES andere als sicher fühle, mit meinem Verständnis von Stetigkeit in einem Punkt. Die allgemeine Definition für Stetigkeit versteh ich, denk ich jedenfalls  .
Also ich versteh unter Stetigkeit erstmal, dass es keine Sprungstellen in einem Funktiongraphen gibt, und weiterhin, dass ich um den Punkt den ich auf Stetigkeit untersuchen will, eine Delta-Umgebung bastle, also jeweils den Abstand von Delta um den Punkt herum. Nun mach ich dasselbe doch mit den Funktionswerten doch auch, nur mit Epsilon, also eine Epsilon-Umgebung um den Funktionswert des zu untersuchenden Punktes. Wenn jetzt alle Punkte die ich von der reellen Achse aus betrachte (die in der Delta-Umgebung! also von unten nach oben) auch ALLE in der Epsilon-Umgebung liegen, ist DAS dann schon stetigkeit des Punktes den ich auf Stetigkeit untersuchen wollte, oder auch für alle Punkte die gemeinsam in den beiden Umgebungen liegen? (Argl, ich glaub ich drück mich einfach schon wieder vieeeel zu komplziert aus).
Und bedeutet Stetigkeit an einer Stelle einfach nur, dass wenn ich das Argument einer Funktion nur um einen ganz kleinen Teil ändere, sich dann auch nur der Funktionswert mit dem neuen (kleineren) Argument um einen ganz kleinen Teil ändert? So siehts für mich jedenfalls aus. Ich hab da gerade mal an nem Graphen von der Funktion f: [0,8] -> [0,65] rumgespielt mit x -> [mm] x^2 [/mm] und ein Foto von dem (wahrscheinlichem Schlamassel hier mit reingepackt!). Weiss auch nicht wie nah ich z.B. ein Punkt der auf Stetigkeit untersucht werden soll, also in der Definition meistens x* von dem Punkt x entfernt seien sollte!
Bitte helft mir!!! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 19.04.2005 | | Autor: | choosy |
So ganz einverstanden bin ich mit deinem verständniss von stetigkeit nicht,
obwohl... mit der stetigkeit in einem punkt verhälts es sich schon so ziemlich wie du es im 2. Abschnitt beschreibst, mein tutor benutzte damals die worte, wenn man an einem Ende ein wenig wackelt (am argument) dann wackelts am anderen ende auch nur ein wenig (der Funktionswert).
nun genauer zu deinem text
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Nabend Euch!
>
> Mein Problem ist derzeit, dass ich mich ALLES andere als
> sicher fühle, mit meinem Verständnis von Stetigkeit in
> einem Punkt. Die allgemeine Definition für Stetigkeit
> versteh ich, denk ich jedenfalls .
Stetigkeit voll zu erfassen ist auch nicht so leicht wie es auf den ersten blick scheint, wenn es überhaupt möglich ist...
>
> Also ich versteh unter Stetigkeit erstmal, dass es keine
> Sprungstellen in einem Funktiongraphen gibt
Richtig
>, und weiterhin,
> dass ich um den Punkt den ich auf Stetigkeit untersuchen
> will, eine Delta-Umgebung bastle, also jeweils den Abstand
> von Delta um den Punkt herum. Nun mach ich dasselbe doch
> mit den Funktionswerten doch auch, nur mit Epsilon, also
> eine Epsilon-Umgebung um den Funktionswert des zu
> untersuchenden Punktes.
Wobei delta im algemeinen von von epsilon abhängt
dazu aber auch gleich noch mehr,denn....
>Wenn jetzt alle Punkte die ich von
> der reellen Achse aus betrachte (die in der Delta-Umgebung!
> also von unten nach oben) auch ALLE in der Epsilon-Umgebung
> liegen, ist DAS dann schon stetigkeit des Punktes den ich
> auf Stetigkeit untersuchen wollte, oder auch für alle
> Punkte die gemeinsam in den beiden Umgebungen liegen?
... spätestens hier isses grob falsch, denn es ist nicht für eine delta epsilon umgebung der fall sondern für jedes epsilon gibt es ein delta,
welche "anderen Punkte" liegen den in jeder epsilonumgebung um den punkt?
> Und bedeutet Stetigkeit an einer Stelle einfach nur, dass
> wenn ich das Argument einer Funktion nur um einen ganz
> kleinen Teil ändere, sich dann auch nur der Funktionswert
> mit dem neuen (kleineren) Argument um einen ganz kleinen
> Teil ändert? So siehts für mich jedenfalls aus.
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>> welche "anderen Punkte" liegen den in jeder epsilonumgebung um den punkt?
hmm, rein logisch liegen dort doch unendlich viele andere punkte, oder? gibt ja meines wissens in [mm] \IR [/mm] keinen nachfolger oder vorgänger einer zahl.. da gabs doch diese ungleichung des arithm. mittels, wenn a,b [mm] \in \IR [/mm] und a<b dann gibts unendliche viele zahlen die "zwischen" (wenn man es so ausdrücken kann) a < (a+b)/2 < b. oder bin ich aufm holzweg und denk einfach ma wieder viel zu kompliziert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Di 19.04.2005 | | Autor: | choosy |
nein nein, der punkt ist einfach das du nicht ein epsilon hat. für ein festes epsilon gibt es natürlich unendlich viele punkte in DER epsilon umgebung,
entscheident ist das IN JEDER !!!
ums mal nicht allzustreng mathematisch auszudrücken:
wenn ich ein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ habe und $a$ in der epsilonumgebung
von einem [mm] $x\in [/mm] R$, [mm] $x\neq [/mm] a$ ist, so ist $a$ nicht mehr in der [mm] $\frac{|x-a|}{2}$ [/mm] umgebung von x (sprich wenn ich epsilon als [mm] $\frac{|x-a|}{2}$ [/mm] wähle).
das heist a ist nicht in jeder epsilonumgebung von x, sondern nur in solchen mit epsilon hinreichend gross.
der clue bei der stetigkeit liegt aber darin, das ich epsilon immer kleiner machen kann, so fallen alle punkte ungleich x irgendwann aus einer epsilonumgebung raus...
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Aaaaah! Das klingt doch schonmal einleuchtender für mich! Also funktioniert das sozusagen wie bei dem Grenzübergang, richtig? Wenn [mm] $\epsilon$ [/mm] nur klein genug ist, dass alle anderen Punkte bis auf der Grenzwert in der [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] vorhanden sind, richtig? Das ist doch nix anderes als ne Grenzwertbetrachtung des Punktes den ich auf Stetigkeit untersuche! Wieso dann so ne komplizierte Definition!! :---) Naja, muss mich wohl viel mehr in dieses [mm] $\epsilon$-Zeugs [/mm] einarbeiten, scheint mir irgendwie das A&O in der Ana zu sein!
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Hallo!
Vielleicht fällt's dir etwas leichter, wenn du folgende (äquivalente) Charakterisierung von Stetigkeit zu gemüte führst:
Grundsätzlich geht es hier immer um Stetigkeit in einem bestimmten Punkt, z.B. [mm] $x_0$. [/mm] Wir wollen also die Stetigkeit von $f:\ [mm] X\to [/mm] Y$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] unteruchen.
Jetzt nimmst du eine Folge [mm] $\big(x_n\big)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow x_0$. [/mm] Diese Folge muss in $X$ sein, das heißt [mm] $x_n\in [/mm] X$ für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Und jetzt muss gelten:
$ [mm] \lim_{n\to\infty}f(x_n) =f(x_0)$.
[/mm]
Der Knackpunkt hierbei ist, dass das für jede Folge gelten muss.
Dann ist $f$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] stetig.
Vermutlich war dir das ohnehin schon mehr oder weniger klar, aber vielleicht ist es ganz sinnvoll, es sich nochmal ordentlich aufzuschreiben.
Im Prinzip kann man Stetigkeit also auf folgendes reduzieren:
$x_ [mm] n\to x_0\quad\Longrightarrow\quad f(x_n)\to f(x_0)$.
[/mm]
Gruß, banachella
PS: Leider kommt man in der Analysis tatsächlich nicht um die grauenerregende Epsilontik herum. Sie taucht immer wieder auf und macht einem das Leben schwer. Aber es gibt dabei auch Lichtblicke: Erstens wird's mit der Zeit immer seltener, und zweitens kommt man auch immer besser damit zurecht, man gewöhnt sich mit der Zeit einfach dran...
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