Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 04.01.2005 | | Autor: | joas |
Hallo,
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ x Element (0,1) } \\ 2, & \mbox{für } x \mbox{ Element [2,3]} \end{cases}
[/mm]
sonst f(x)=0
Ist ja nicht in ganz R stetig. Ich soll zeigen, dass die Bedingung: Urbild offener Mengen ist offen verletzt ist.
Wie geht man da vor?
Gruß joas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Di 04.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi joas
es genügt ja eine offene menge $O [mm] \subset \mathbb{R}$ [/mm] zu finden, so dass [m] f^{-1}(O) \subset \mathbb{R} [/m] nicht offen ist. betrachte z.b. mal [m] O := \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) [/m]. was ist dann [m] f^{-1}(O) = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) \in O \} [/m]? ist dies offen?
du kannst dir ja mal überlegen, was du mit diesen hinweisen anfangen kannst und dich dann mit fragen oder dem ergebis wieder melden!
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 06.01.2005 | | Autor: | joas |
Also meiner Meinung nach ist die Funktion nicht stetig in 0, 1, 2 und 3.
[mm] f^{-1}(O) [/mm] = [mm] \{0;2\} [/mm] also nicht offen?!
Gruß joas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Also meiner Meinung nach ist die Funktion nicht stetig in
> 0, 1, 2 und 3.
das stimmt, aber das willst du ja erst noch folgern
> [mm]f^{-1}(O)[/mm] = [mm]\{0;2\}[/mm] also nicht offen?!
bist du dir da sicher, dass du nicht [m] f(O) [/m] ausgerechnet hast? das sieht mir nämlich verdächtig danach aus. hingegen ist [m] f^{\red{-1}}(O) [/m] die menge der elemente die auf $O$ abgebildet werden. insbesondere liegt ja auch $2 [mm] \in [/mm] O$! welche elemente werden denn auf $2$ abgebildet?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 06.01.2005 | | Autor: | joas |
Ich hab glaub ich Probleme mit dem Begriff Urbild.
Nun zu der 2. Auf 2 werden werden alle x Element [2,3] abgebildet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
> Ich hab glaub ich Probleme mit dem Begriff Urbild.
habt ihr da eine definition davon? im prinzip ist das urbikde [m] f^{-1}(A) [/m] einfach nur die menge aller punkte die auf [m] A [/m] abgebildet werden, also z.b. für [m]f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}; \; x \longmapsto x^2 [/m] ist für [m] A := (1, 2) [/m] das urbild [m] f^{-1}\left( A \right) = (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2}) [/m]. versuche dir das mal im allgemeinen plausibel zu machen.
man kann das urbild auch als [m] f^{-1}(A) = \bigcup_{y \in A} f^{-1}(y) [/m] darstellen, da die vereinigung alle elemente enthält, die auf ein element aus $A$ abgebildet wird ([m] f^{-1}(y) [/m] ist dabei eine menge!).
> Nun zu der 2. Auf 2 werden werden alle x Element [2,3]
> abgebildet.
hier kannst du dir ja mal überlegen, was[m] \bigcup_{y \in \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right)} f^{-1}(y) [/m] ist, also welche elemente werden auf die anderen zahlen aus [m] \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) [/m] abgebildet. für [m] y = 2 [/m] hast du dir das ja schon überlegt!
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 06.01.2005 | | Autor: | joas |
Nächster Versuch:
Auf [mm] \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) [/mm] wird das Intervall [2,3] abgebildet.
Ich hoffe, dass stimmt jetzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
sehr gut. damit hast du also eine offene menge gefunden deren urbild nicht offen ist, somit kann die funktion $f$ nicht stetig sein!
grüße
andreas
|
|
|
|
