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| Aufgabe | Für [mm] \alpha \in \IR [/mm] sei [mm] f_{\alpha} [/mm] : [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f_{\alpha} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{xy}{(x^{2} + y^{2})^{\alpha}} & \mbox{für } (x,y) \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = 0 \end{cases}
[/mm]
Entscheide (mit Beweis), für welche [mm] \alpha [/mm] die Funktion [mm] f_{\alpha} [/mm] stetig ist. |
hallo!
ich habe herausgefunden, dass die funktion für [mm] \alpha \le [/mm] 1/2 stetig und für [mm] \alpha \ge [/mm] 1 unstetig in (0,0) ist.......für die [mm] \alpha [/mm] zwischen 1/2 und 1 habe ich leider keine ahnung. ich vermute, dass die fkt. dann stetig ist. aber wie beweise ich das??? hat jemand nen tipp? vielen dank im vorraus....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie hast du das denn für [mm] \alpha<0,5 [/mm] gemacht, ich seh keinen Unterschied zu etwa [mm] \alpha=0,9
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Improvise |
für [mm] \alpha \le [/mm] 1/2 habe ich für [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] < 1:
[mm] \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{\alpha}} \le \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^{1/2}} \le \bruch{xy}{x} [/mm] = y [mm] \to [/mm] 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 So 24.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Verwende [mm] |xy|\le 1/2*(x^2+y^2) [/mm] (folgt aus [mm] (x-y)^2\ge [/mm] 0)
dann findes du zu jedem [mm] \varesilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] so dass aus [mm] x^2+y^2<\delta [/mm] folgt |f(x)|< varepsilon.
für [mm] \alpha=1 [/mm] lauf mit verschiednen Richtungen nach 0 [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi, [/mm] für r gegen 0 hängt der GW von [mm] \phi [/mm] ab, also nicht stetig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 So 24.06.2007 | | Autor: | Hurby |
Hallo,
ich sitze gerade an der selben aufgabe und komm nicht voran und versteh auch euer gespräch nicht so wirklich.
also ich weiß bis jetzt das ich mir die umgebung von 0 angucken muss und das ich [mm] \alpha [/mm] so wählen muss das [mm] \parallel \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^\alpha}\parallel [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt. dann hab ich das erste problem die norm. da kann ich doch irgendeine norm nehmen weil alle normen auf [mm] \IR [/mm] äquivalent sind. aber wie rechne ich das denn dann aus?
ich hoffe mir kann jemand helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 So 24.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die beste Norm für (x,y) ist doch hier wohl [mm] \wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
dann hast du für [mm] x^2+y^2<\delta [/mm] ne Umgebung von 0 und musst nur noch [mm] \delta [/mm] passend zu [mm] \varepsilon [/mm] (und [mm] \alpha) [/mm] wählen.
> also ich weiß bis jetzt das ich mir die umgebung von 0
> angucken muss und das ich [mm]\alpha[/mm] so wählen muss das
> [mm]\parallel \bruch{xy}{(x^{2}+y^{2})^\alpha}\parallel[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] gilt.
Du musst dir die Umgebung von 0 nicht angucken, sondern sie so -für jedes [mm] \varepsilon [/mm] - wählen, dass die Ungl. gilt!
dazu nimm meine gegebene Ungleichung !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 24.06.2007 | | Autor: | Hurby |
ich verstehs immer noch nicht.
ich hab mir jetzt die norm geschnappt und eingesetzt:
[mm] \bruch{x^2+y^2}{x^2+y^2+x^2+y^2}^\alpha <\varepsilon
[/mm]
dann würd ich sagen [mm] \bruch{\delta}{(2*\delta)^\alpha}< \varepsilon
[/mm]
naja und dann häng ich wieder da wo ich schon mal hing..wie komm ich jetzt an mein alpha. ich versteh das auch nicht was ich mit dieser ungleichung machen soll/kann die du vorher gepostet hast.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 27.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich verstehs immer noch nicht.
> ich hab mir jetzt die norm geschnappt und eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{x^2+y^2}{x^2+y^2+x^2+y^2}^\alpha <\varepsilon[/mm]
>
> dann würd ich sagen [mm]\bruch{\delta}{(2*\delta)^\alpha}< \varepsilon[/mm]
Na ja und das heisst [mm] \delta^{1-\alpha}>varepsilon.
[/mm]
also für [mm] \alpha [/mm] <1 kann ich [mm] \delta=\varepsilon^{\bruch{1}{1-\alpha}} [/mm] wählen d.h. für [mm] \alpha<1 [/mm] ist die fkt stetig.
für [mm] \alpha>1 [/mm] unstetig nicht hiermit gezeigt! aber leicht zu zeigen dass der Gw gegen unendlich geht.
für [mm] \alpha [/mm] =1 muss man noch entscheiden.
jenachdem, mit welcher Richtung man nach 0 läuft, bekommt man verschiedene GW, also unstetig.
Gruss leduart
> naja und dann häng ich wieder da wo ich schon mal hing..wie
> komm ich jetzt an mein alpha. ich versteh das auch nicht
> was ich mit dieser ungleichung machen soll/kann die du
> vorher gepostet hast.
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