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| Aufgabe | Definition (Stetigkeit)
Es sei [mm] \emptyset \not= [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] und a [mm] \in [/mm] D. Eine reelle Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] heißt stetig in a, wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = f(a) für jede Testfolge [mm] (a_n) [/mm] in D für a
gilt.
f heißt stetig auf D oder einfach stetig, wenn f in jedem a [mm] \in [/mm] D stetig ist. |
Hallo!
Ich grüble die ganze Zeit über die zitierte Definition und verstehe sie nicht.
Was eine Testfolge in einer gegebenen Menge M für einen gegebenen Wert w ist, versteh ich ja noch. Aber was ist beispielsweise mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] gemeint? Der Grenzwert der Funktion mit der Folge [mm] a_n [/mm] als Argument? Kann mir das einer von euch erklären, bitte?
Danke,
Martin
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Hallo Martin,
den Begriff Testfolge habe ich noch nie gehört, aber lass es mich mal versuchen, so zu erklären:
Also [mm] $f:D\rightarrow\IR$ [/mm] heißt stetig in [mm] $a\in [/mm] D$, falls
für [mm] \bold{jede} [/mm] (Punkt-)Folge [mm] a_n\in [/mm] D mit [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}=a$ [/mm] gilt:
[mm] $f(a_n)\rightarrow [/mm] f(a)$ für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Du nimmst dir also eine beliebige Folge [mm] a_n\in [/mm] D her, die gegen $a$ konvergiert und musst zeigen, dass dann auch gefälligst [mm] $f(a_n)$ [/mm] gegen $f(a)$ konvergiert
dh. in Formelschreibweise:
f ist stetig in a, falls
[mm] $\forall a_n\in [/mm] D: [mm] \lim\limits_{n\rightarrow\infty}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=f(a)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ja, aber f ist eine Funktion und [mm] a_n [/mm] ist eine Folge. Was genau bedeutet jetzt dieses [mm] f(a_n)? [/mm] Und was bedeutet folglich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)? [/mm] Der Grenzwert einer Funktion ist doch immer gleich, ganz egal welche Werte ich ihr übergebe...oder wie, oder was? Steh grad auf'm Schlauch...
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Hallo nochmal Martin,
vielleicht machen wir's mal an nem Bsp.
Sei [mm] $f:\IR\rightarrow\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=5x^2-3x+2$
[/mm]
Wir prüfen, ob $f$ in $a=3$ stetig ist. Es ist $f(3)=38$
Dazu sei [mm] (a_n)_n [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \lim\limits_{n\rightarrow\infty}=3
[/mm]
Dann ist [mm] $f(a_n)=5a_n^2-3a_n+2$
[/mm]
Also [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(5a_n^2-3a_n+2)=5\cdot{}3^2-3\cdot{}3+2=38=f(3)$
[/mm]
Also ist $f$ stetig in 3
Du führst quasi die Stetigkeitsberechnung auf das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen zurück
Ich gebe zu, das war jetzt nicht son schwieriges Bsp, aber mir fällt kein schwieriges ein.
Vllt. fällt dir ja eins ein und wir gucken mal. (vllt. was mit Betrag?)
Gruß
schachuzipus
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Hmmm, also auf der einen Seite hast du:
f(3) = [mm] 5(3^2) [/mm] - 3(3) + 2
und auf der anderen Seite hast du:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) [/mm] = [mm] 5(3^2) [/mm] - 3(3) + 2
Ist doch ziemlich offensichtlich, dass das gleich ist. Verstehe das leider immer noch nicht... Kannst du mir auch mal ein Beispiel nennen, wo das NICHT der Fall ist?
Und außerdem, wie spricht man das:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)
[/mm]
Vielleicht wird mir dann klarer was das überhaupt sein soll :-|
Danke,
Martin
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Hallo,
das spricht sich: "limes n gegen unendlich von f von [mm] a_n"
[/mm]
Ja ich habe ein Gegenbsp.
Nehmen wir [mm] $f:\IR\rightarrow\IR:f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x+1, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$ [/mm] und zeigen, dass $f $ nicht stetig ist in $a=0$
Dazu müssen wir 2 Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n \in\IR [/mm] finden, die beide gegen $0$ konvergieren, also mit [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=0$,
[/mm]
[mm] \bold{ABER} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(a_n)\ne\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
Das ist genau die Verneinung der Stetigkeitsaussage - mach dir das mal anhand der Quantorenschreibweise von oben klar.
Also wählen wir eine Folge, die von oben auf a zusteuert, eine die von unten auf a zusteuert:
[mm] (a_n)_n=\left(\frac{1}{n}\right)_n [/mm] und [mm] (b_n)_n=\left(-\frac{1}{n}\right)_n
[/mm]
Offensichtlich sind beides Nullfolgen.
Nun ist [mm] f(a_n)=\frac{1}{n}, [/mm] also [mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=0=f(0)$
[/mm]
ABER [mm] f(b_n)=-\left(-\frac{1}{n}\right)+1=\frac{1}{n}+1, [/mm] also
[mm] $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=1\ne [/mm] f(0)=0$
$f$ ist also in 0 nicht stetig
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 15.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Ok, danke.
Hat ne Weile gedauert. Was mir vor Allem unklar war, war das mit der Bildfolge. Aber ich glaub jetzt hat's geklingelt ;)
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