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| Aufgabe | Man untersuche für beliebige [mm] \alpha,\beta\in\IR [/mm] den grenzwert [mm] \limes_{t\rightarrow0}f(\alpha*t,\beta*t) [/mm] .
Ist die Funktion f(x,y) an (0,0) stetig?
f(x,y)= [mm] \Bruch{2y²}{|x| + y²} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und f(0,0)=0 |
Also mein ansatz einmal
x= [mm] \alpha [/mm] t
y= [mm] \beta [/mm] t
[mm] f(\alpha [/mm] t , [mm] \beta [/mm] t) = [mm] \bruch{2 \beta ² t²}{|\alpha t|+ \beta ² t²}
[/mm]
Dann hab ich noch ne algemeine Definition gefunden die besagt,
Eine Funktion ist dann im Punkt stetig, wenn der Grenzwert im gesuchten Punkt gleich dem Funktionswert im gesuchten Punkt ist.
Funktionswert = 0
und wenn ich
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] gehen lass sollt doch auch [mm] \bruch{0}{|0|+0} [/mm] dortstehen, da das t=0 ist oder?
jetzt nur meine Frage, da mir das zu einfach vorkommt.
Stimmt das so, oder hab ich irgendwas total arg vergessen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 04.04.2007 | | Autor: | wauwau |
So einfach ist das nicht, denn für [mm] \alpha=0 [/mm] ist die Funktion überall = 2 bis auf t=0, da ist sie lt. Definition = 0 also nicht stetig!
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Ich versteh nur nicht wieso immer 2 rauskommt ich mein es ist mir schon klar das wenn ich
[mm] \bruch{2 \beta ²t²}{\beta ²t²} [/mm] kürze 2 rauskommt, aber mein limes geht ja von t ->0 [mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] und somit sollte das ganze doch eine Multiplikation mit 0 sein und im Endeffekt
[mm] \bruch{0}{0} [/mm] rauskommen, oder?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 05.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
t gegen Null laufen zu lassen ist nicht dasselbe wie Null einzusetzen. Angenommen du hast die Funktion x/x für x nicht 0 und 0 im Nullpunkt. Lässt du nun x gegen Null laufen so bedeutet die Existenz eines Grenzwertes gerade, dass für jede Folge [mm] a_{n} [/mm] aus IR ohne 0 (das ist Definition!) die Folge [mm] f(a_{n}) [/mm] gegen diesen strebt. In diesem Fall kannst du im Falle jeder Folge x/x zu 1 kürzen, da deine Folge ja nicht 0 wird (Definition!). Somit hast du den Grenzwert 1 und unstetigkeit in 0. Analog im mehrdimensionalen.
Gruß
Hund
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ok dann versuch ichs mal
ich fixiere x mit x=0 und nähere mich dann auf der y achse an mit [mm] \limes_{t\rightarrow 0}
[/mm]
dann erhalte ich
f(0, [mm] \beta [/mm] t) = [mm] \bruch{2\beta ²t²}{|0| + \beta ²t²}
[/mm]
solange t [mm] \not= [/mm] 0 erhalte ich immer 2 als Ergebnis da sich das [mm] \bruch{2\beta ²t²}{\beta ²t²} [/mm] zu 2 kürzt.
Nun mal die 1 Frage: folgt daraus, das die funktion dort immer stetig ist?
wenn dann t = 0 erreicht ist bekomme ich als Ergebnis 0
Nun die 2 Frage : folgt daraus dann, dass die Funktion nicht stetig ist ?
oder folgt aus dem Satz :
Eine Funktion ist dann im Punkt stetig, wenn der Grenzwert im gesuchten Punkt gleich dem Funktionswert im gesuchten Punkt ist.
Das die Funktion dort trotzdem stetig ist?
Falls ich falsch liege, könnte mir jemand genau erklären wie dieses Beispiel funktioniert?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Di 10.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du hast es doch schonn selbst raus. Nimmst du Beispielsweise die Folge (0,bt), dann strebt deine Funktion für t gegen 0 nach zwei. In 0 hat sie aber den Wert 0. Wäre die Funktion stetig, so folgt doch aus deinem Satz das jede, also auch obige Folge gegen 0 streben müsste, was sie aber nicht tut. Also ist deine Funktion unstetig in 0.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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