Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 So 11.03.2007 | | Autor: | Nofi |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Funktion auf Stetigkeit :
f(x,y) = [mm] (x*y)/(x^2+y) [/mm] für (x,y) ungl 0
0 für (x,y) = 0
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Ich hab nun mal die Stetigkeit für (x,0) mit lim x->0 überprüft und dasselbe für (0,y) lim y->0 , jedesmal komm ich auf den grenzwert 0 , jedoch muss ich das noch irgendwie für allgemeine x,y beweisen oder ?
Danke im Voraus für eure HIlfe
MfG
Ps habs mitm Formeleditor jetzt 4 mal probiert schön anzuzeigen aber net hingekriegt ..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 So 11.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nofi!
Kritisch ist herbei bei dieser Funktion lediglich der Punkt $(x;y) \ = \ (0;0)$ .
Allerdings ist die Funktion dort nicht stetig. Denn dann müssten auch für alle Teilfolgen [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ 0$ bzw. [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_n [/mm] \ = \ 0$ der Funktionswert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n;y_n) [/mm] \ = \ 0$ herauskommen.
Hierbei reicht aber bereits ein Gegenbeispiel aus, die Stetigkeit zu widerlegen.
Versuche es doch mal mit [mm] $x_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] sowie [mm] $y_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] ...
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_n*y_n}{x_n^2+y_n} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}*\bruch{1}{n}}{\left(\bruch{1}{n}\right)^2+\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 11.03.2007 | | Autor: | Nofi |
sorry doppelpost
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 11.03.2007 | | Autor: | Nofi |
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{\bruch{1}{n} *\bruch{1}{n}}{(\bruch{1}{n})^2+\bruch{1}{n}}
\limes_{n \to \infty} \bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}+1} [/mm]
und dies geht meines erachtens nach wieder gegen 0 womit ich keine unstetigkeitsstelle gefunden hab
oder liege ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 11.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
bei der Funktion ist nicht nur der Punkt (0,0) kritisch, sondern auch alle Punkte aus [mm] \{x\in \IR^2 : y= -x^2 \} [/mm] , bist Du sicher, daß statt [mm] x^2+y [/mm] nicht [mm] x^2+y^2 [/mm] im Nenner stehen muß.
MfG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Nofi |
Jo die angabe stimmt , nur hab ich übersehen dass anstatt (x,y) ungl 0 dort steht :
[mm] x^2+y [/mm] ungl 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 12.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenns mit 1,n nicht klappt: [mm] y=1/n^2, [/mm] x=1/n (oder umgekehrt?).
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Nofi |
Najo Leduart, ich komm ehrlichgesagt für beide Fälle und weiter die ich probiert hab immer auf 0 , bin langsam ratlos =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mo 12.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht. Es ist einfach stetig, denn fuer alle [mm] x^2+y \ne0
[/mm]
gilt [mm] xy/(x^2+y)
d.h. die fkt ist stetig in 0
Gruss leduart
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