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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 18.05.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \delta [/mm] := [mm] \begin{cases} x^{x}, & \mbox{für } \mbox{ x > 0} \\ 1, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \end{cases}
[/mm]
an der Stelle x=0 stetig ist.
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Hallo,
ich bräuchte ein wenig mathematische Hilfe.
Die Stetigkeit zeige ich ja, wenn ich mir den Limes von rechts, von links anschaue sowie für x=0
Nun habe ich aber nur die Fkt. für den rechtseitigen Grenzwert...
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^{x} [/mm] = [mm] 0^{0}, [/mm] liefert ja keine Aussage
Damit x an der Stelle x=0 stetig ist muss für den rechten, linken und x=0 das selbe nämlich 1 rauskommen, da ja für x=0 die 1 definiert ist und somit unveränderlich...
Wie komme ich darauf? Muss ich mit dem l'Hospital für [mm] x^{x} [/mm] rechnen?
Vielen Dank für Hilfe im Voraus.
Liebe Grüße Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Doreen!
Hilft Dir folgende Umformung für den Ausdruck [mm] $x^x$ [/mm] weiter?
Wegen $a \ = \ [mm] e^{\ln(a)}$ [/mm] gilt auch: [mm] $x^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ e^{\ln(x)} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$
[/mm]
Für die Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] beachte auch, dass gilt:
[mm] $x*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$
[/mm]
Damit hast Du nun für [mm] $x\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] den Fall [mm] $-\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] vorliegen und darfst mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten.
Gruß vom
Roadrunner
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