Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a)
Seien A eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] sowie [mm] a\in [/mm] A. Ferner sei a ein Häufungspunkt der beiden Mengen [mm] A^{+} [/mm] := A [mm] \cap ]a,\infty[ [/mm] und [mm] A^{-} [/mm] := A [mm] \cap [/mm] ]- [mm] \infty,a[.
[/mm]
Beweisen Sie, dass f: A [mm] \to \IC [/mm] dann und nur dann stetig im Punkt a ist, wenn die beiden einsietigen Grenzwerte f(a+) und f(a-) existieren und mit f(a) übereinstimmen.
(b)
Man zeige f: A [mm] \to \IC [/mm] ist genau dann stetig, wenn f in a stetig ist und die beiden Einschränkungen [mm] f|_{A^{+}} [/mm] und [mm] f|_{A^{-}} [/mm] stetig sind. |
Hallo,
kann mir jemand helfen. Mir ist überhaupt nicht klar. Wie ich da anfangen soll. VIelleicht kann mir jemand ein paar Tipps geben.
Vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine gegen $a$ konvergente Folge. Spalte diese auf in die Teilfolge aller Elemente, die kleiner sind als $a$ sind (die also in $A^-$ liegen) und die Teilfolge aller Elemente, die größer als $a$ sind (die also in $A^+$ liegen). Die Konvergenz der Teilfolgen gegen $f(a-)=f(a)$ und $f(a^+)=f(a)$ gilt nach Voraussetzung.
Versuche nun die Konvergenz der Gesamtfolge gegen $f(a)$ nachzuweisen.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
