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| Aufgabe | | Sind f,g : [a,b] ---> IR stetige Funktionen mit f(a)<g(a) und g(b)<f(b), so gibt es ein c aus (a,b) mir f(c)=g(c). |
Hi!
Ich hab folgende Aufgabe bekommen:
Sind f,g : [a,b] ---> IR stetige Funktionen mit f(a)<g(a) und g(b)<f(b), so gibt es ein c aus (a,b) mir f(c)=g(c).
Ich habe mir erstmal überlegt, was das eigentlich heißt.
Also f(a)<g(a) bedeutet der Funktionswert von f ist an der Stelle a kleiner als der von g
Und an der Stelle b ist der Funktionswert von g größer als der von f
Daraus soll nun folgen das es ein c aus (a,b) gibt so der Funktionswert an der Stelle c, die natürlich zwischen a und b liegt, an der der Funktionswert von f und der von f gleich sind. Das ist ja klar, weil die sich dort irgendwo schneiden müssen, aber wie zeige ich das am Besten?
Hab mir dann weiter überlegt. Ich bastele mir eine neue stetige Fkt. h:=f-g im Intervall [a,b]. Nun wende ich den Zwischenwertsatz an. Ich weiß aber nicht genau, wie ich das am Besten mache. Irgendwie müsste ich dann dazu kommen das h eine Nullstelle hat, wodurch ich dann auch weiß das sich f und g schneiden. Danke für eure Hilfe!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Micchecker!
Du hast es doch bereits gelöst, jetzt musst du es nur noch hinschreiben. 
Definiere
$h(x):=f(x) - g(x)$.
Dann gilt:
$h(a) = f(a) - g(a) <0$
und
$h(b) = f(b) - g(b)>0$.
$h$ ist als Differenz stetiger Funktionen stetig.
Nun wenden wir auf $h$ den Zwischenwertsatz an und erhalten daraus ein $c [mm] \in [/mm] (a,b)$ mit $h(c)=0$, also: $f(c) = g(c)$.
Liebe Grüße
Julius
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