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| Aufgabe 1 | Die Signum- Funktion sgn: IR ---> IR ist definiert durch
[mm] sgn(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \mbox{kleiner 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{gleich 0}\\1, & \mbox{für } x\mbox{größer 0} \end{cases}
[/mm]
Untersuchen Sie diese Funktion auf Stetigkeit. |
| Aufgabe 2 | Die Funktion f: [a,b] --> [mm] \IR [/mm] sei stetig, und es gelte f([a,b]) [mm] \subset [/mm] [a,b]. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt besitzt, d.h. es gibt ein x' [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(x')=x'.
Hinweis: Führen sie eine neue Funktion F:[a,b] --> [mm] \IR [/mm] mit F(x):=f(x)-x ein und benutzen Sie anschließend den Zwischenwertsatz. |
| Aufgabe 3 | Sei [mm] D\subset \IR. [/mm] Eine Funktion f: D --> [mm] \IR [/mm] heißt Lipschitz-stetig in D, wenn es eine Konstante L>0 gibt, sodass für alle x,y [mm] \in [/mm] D gilt |f(x)-f(y) |<= L |x-y|.
Zeigen Sie: Eine Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig. |
Hi,
hat jemand Ahnung von der Materie, der mir hier helfen könnte. Ist echt super wichtig. Wäre nett, wenn mir jemand hilft. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 17.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Charly!
Damit eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, müssen sowohl der rechtsseitige Grenzwert, der linksseitige Grenzwert soie der eigentliche Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] übereinstimmen.
Interessant bei diesen zusammengesetzten Funktionen sind die Nahtstellen, hier also: [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Wie sieht denn der linksseitige Grenzwert für diese Funktion aus? Wir nähern uns also von links, d.h. aus dem Negativen.
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow} [/mm] sgn(x) \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow} [/mm] (-1) \ =\ -1$
Wie sieht es nun mit dem rechtsseitigen Grenzwert und dem Funktionswert $f(0)_$ aus?
Gruß
Loddar
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Hallo Susann,
erstmal zu Aufgabe 2: die lösung findest du vermutlich in jedem ana1-buch und auch bereits mehrmals hier im forum, ganz abgesehen davon, dass die lösung eigentlich schon in der aufgabe steht...  .
Aufgabe3:
Schaue dir nochmal die definition der gleichmäßigen stetigkeit an:
[mm] $\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x_1,x_2\in [/mm] D: [mm] |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
[/mm]
Du musst also [mm] $|f(x_1)-f(x_2)|$ [/mm] gleichmäßig abschätzen, was aber durch die lipschitz-bedingung gewährleistet wird.
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] wie oben und $L$ die lipschitz-konstante. wählt man nun [mm] $\delta=\varepsilon/L$, [/mm] dann erfüllt dieses [mm] $\delta$ [/mm] die bedingungen der gleichmäßigen stetigkeit. qed.
VG
Matthias
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