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| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] exp(2x) + [mm] 4x^2
[/mm]
Bestimmen Sie zu [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x_0 [/mm] = 1 explizit ein [mm] \delta [/mm] > 0 derart, dass [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gilt. |
Hallo,
Ich habe bis jetzt folgenden Ansatz:
|x-1| < [mm] \delta
[/mm]
|f(x)-f(1)| = [mm] |(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e) [/mm] - [mm] 4(x+1)*\delta|
[/mm]
Hat jemand eine kleinen Tipp, wie ich nun weiter machen kann?
Viele Grüße
Anil
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
HI
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] exp(2x) + [mm]4x^2[/mm]
> Bestimmen Sie zu [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]x_0[/mm] = 1
> explizit ein [mm]\delta[/mm] > 0 derart, dass [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> Ich habe bis jetzt folgenden Ansatz:
>
> |x-1| < [mm]\delta[/mm]
> |f(x)-f(1)| =
> [mm]|(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e)[/mm]
> - [mm]4(x+1)*\delta|[/mm]
>
Du meinst wohl
[mm] (exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)(x-1)|<|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)*\delta|
[/mm]
> Hat jemand eine kleinen Tipp, wie ich nun weiter machen
> kann?
Wie musst du denn nun dein [mm] \delta [/mm] wählen damit
[mm] |(exp(x))^2-e^2+4(x+1)*\delta|=\bruch{1}{2}=\varepsilon
[/mm]
>
> Viele Grüße
> Anil
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> [mm]|(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e)[/mm]
> > - [mm]4(x+1)*\delta|[/mm]
> >
> Du meinst wohl
>
> [mm](exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)(x-1)|<|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)*\delta|[/mm]
wieso sollte er das meinen? Ich finde seine Umformung sogar deutlich zielführender…
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi
[mm] |(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|
[/mm]
Also ich meine das "=" stimmt hier nicht
[mm] |(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2+4(x+1)(x-1)|
[/mm]
hier hingegen schon
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
da hast du natürlich recht.
Spielte bei mir nach Anwendung der Dreiecksungleichung keine Rolle mehr, daher habe ich das übersehen 
Gruß,
Gono
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Hiho,
> [mm]|(exp(2x)+4x^2-exp(2)-4|=|(exp(x))^2-e^2-4(x+1)(x-1)|<|(exp(x)+e)(exp(x)-e)[/mm]
> - [mm]4(x+1)*\delta|[/mm]
>
> Hat jemand eine kleinen Tipp, wie ich nun weiter machen
> kann?
Hiho,
ich würde nun Dreiecksungleichung anwenden und bedenken, dass $x [mm] \le x_0 [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 1 + [mm] \delta$. [/mm] Dann kannst du oBdA annehmen, dass [mm] $\delta\le [/mm] 1$ und erhältst damit $x [mm] \le [/mm] 2$.
Durch die Dreiecksungleich und obige Abschätzung erhältst du nun zwei Summanden, mit bekannten Funktionen, wobei ich jeden getrennt so abschätzen würde, dass er kleinergleich [mm] $\bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] ist.
Das bekommst du bestimmt hin
Gruß,
Gono
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